Calcolo integrale definito fratto con radici

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Calcolo integrale definito fratto con radici #50976

avt
depe_
Cerchio
Ciao a tutti emt il nostro prof per le vacanze ci ha dato insieme a delle funzioni da analizzare anche degli integrali definiti da calcolare. Premetto che non abbiamo fatto granché sugli integrali e neanche dalle lezioni del sito ci ho capito più di tanto... Ad esempio:

\int_{4}^{9}{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}dx}

io mi blocco già in partenza perchè non so nemmeno da dove cominciare...potete darmi una mano magari spiegandomi passaggio per passaggio? Grazie emt
 
 

Calcolo integrale definito fratto con radici #50983

avt
Omega
Amministratore
Ciao Depe_,

strano che ti venga proposto un esercizio del genere se non avete fatto granché degli integrali. D'altronde è normale che tu abbia capito poco delle nostre lezioni, in tale eventualità: non hanno la pretesa di sostituire il compito assegnato ai professori. Sono piuttosto un'integrazione completa. emt

Procedi così:

1 - integrazione per sostituzione, poni t=\sqrt{x} da cui x=t^2 e dunque dx=2tdt. L'integrale diventa

\int_{2}^{3}{\frac{t+1}{t-1}2tdt}

La funzione di sostituzione serve anche per modificare opportunamente gli estremi di integrazione.

2 - Trucchi algebrici per ricondursi ad integrali più semplici.

2\int_{2}^{3}{\frac{t^2+t}{t-1}dt}

diventa per linearità

2\int_{2}^{3}{\frac{t^2}{t-1}dt}+2\int_{2}^{3}{\frac{t}{t-1}dt}

Nel primo sottrai e somma 1 al numeratore, nel secondo fai lo stesso

2\int_{2}^{3}{\frac{t^2-1+1}{t-1}dt}+2\int_{2}^{3}{\frac{t-1+1}{t-1}dt}

ancora per linearità

2\int_{2}^{3}{\frac{t^2-1}{t-1}dt}+2\int_{2}^{3}{\frac{1}{t-1}dt}+2\int_{2}^{3}{\frac{t-1}{t-1}dt}+2\int_{2}^{3}{\frac{1}{t-1}dt}

Hai praticamente finito. Nel primo scomponi (prodotti notevoli) il numeratore e semplifica, la seconda integranda ha una primitiva logaritmica, il terzo è banale (1dt->t), il quarto è una copia del secondo.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, depe_, Hesse, Manuel1990

Calcolo integrale definito fratto con radici #51002

avt
depe_
Cerchio
Grazie mille emt
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Os