Vero o falso sui punti di discontinuità di una funzione

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Vero o falso sui punti di discontinuità di una funzione #48899

avt
luigi rovatti
Cerchio
Ciao, volevo verificare se le seguenti affermazioni sui punti di discontinuità delle funzioni sono vere o false. Riporto anche il mio svolgimento.

a) La funzione f(x)=\frac{\sin(x)}{x} ha in x=0 una discontinuità eliminabile.

b) f(x)=\frac{1-\cos(x)}{x} ha una discontinuità di seconda specie in x=0.

Svolgimento: a-V, b-F.
 
 

Re: Vero o falso sui punti di discontinuità di una funzione #48931

avt
Omega
Amministratore
Ciao LuigiRovatti,

entrambe le risposte sono corrette, quindi più che a te ne spiego i motivi ad altri eventuali lettori.

In entrambi i casi si fa riferimento alla lezione sui punti di discontinuità.

La funzione

f(x)=\frac{\sin(x)}{x}

ha un punto di discontinuità eliminabile in x_0=0, infatti grazie al limite notevole del seno, risulta che

\lim_{x\to 0^{\pm}}\frac{\sin(x)}{x}=1

però f(x)=\frac{\sin{(x)}}{x} non è definita in x=0, dunque abbiamo una discontinuità di terza specie in corrispondenza di tale punto.

Per quanto concerne la funzione

f(x)=\frac{1-\cos(x)}{x}

è sufficiente notare che, per il limite notevole del coseno,

\lim_{x\to0}\frac{1-\cos{(x)}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x}=0

ma la funzione

f(x)=\frac{1-\cos{(x)}}{x}

non è definita in x=0. Anche qui abbiamo una discontinuità di terza specie.
Ringraziano: Pi Greco, luigi rovatti
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Os