Vero o falso sui punti di discontinuità di una funzione

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Vero o falso sui punti di discontinuità di una funzione #48899

avt
luigi rovatti
Cerchio
Ciao, volevo verificare se le seguenti affermazioni sui punti di discontinuità delle funzioni sono vere o false. Riporto anche il mio svolgimento.

a) La funzione f(x) = (sin(x))/(x) ha in x = 0 una discontinuità eliminabile.

b) f(x) = (1-cos(x))/(x) ha una discontinuità di seconda specie in x = 0.

Svolgimento: a-V, b-F.
 
 

Re: Vero o falso sui punti di discontinuità di una funzione #48931

avt
Omega
Amministratore
Ciao LuigiRovatti,

entrambe le risposte sono corrette, quindi più che a te ne spiego i motivi ad altri eventuali lettori.

In entrambi i casi si fa riferimento alla lezione sui punti di discontinuità.

La funzione

f(x) = (sin(x))/(x)

ha un punto di discontinuità eliminabile in x_0 = 0, infatti grazie al limite notevole del seno, risulta che

lim_(x → 0^(±))(sin(x))/(x) = 1

però f(x) = (sin(x))/(x) non è definita in x = 0, dunque abbiamo una discontinuità di terza specie in corrispondenza di tale punto.

Per quanto concerne la funzione

f(x) = (1-cos(x))/(x)

è sufficiente notare che, per il limite notevole del coseno,

lim_(x → 0)(1-cos(x))/(x) = lim_(x → 0)((1)/(2)x^2)/(x) = 0

ma la funzione

f(x) = (1-cos(x))/(x)

non è definita in x = 0. Anche qui abbiamo una discontinuità di terza specie.
Ringraziano: Pi Greco, luigi rovatti
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Os