Possibili punti di discontinuità di una funzione fratta con parametro

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Possibili punti di discontinuità di una funzione fratta con parametro #48069

avt
Elshaa
Cerchio
Giorno a tutti raga,

ho una funzione con un parametro di cui devo determinare i punti di discontinuità:

f(x)=\frac{x+3}{4x^{2}-ax}.

Dopo aver trovato il parametro per cui la funzione presenta una discontinuità di seconda specie in x=\frac{1}{2}, mi viene richiesto di classificare le altre discontinuità della funzione.

Il mio dubbio è: che punti dovrei prendere in considerazione per trovare altre discontinuità?
 
 

Re: Possibili punti di discontinuità di una funzione fratta con parametro #48102

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Elshaa,

per determinare il valore di a per cui si ha una discontinuità di seconda specie è sufficiente verificare che il limite per x\to\frac{1}{2} della funzione

f(x)=\frac{x+3}{4x^2-ax}

sia infinito, ossia:

\lim_{x\to\frac{1}{2}}f(x)=\infty

(eventualmente infinito con segno)

Calcoliamo il limite al variare del parametro reale a procedendo per sostituzione diretta:

\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{x+3}{4x^2-a x}=\frac{\frac{1}{2}+3}{4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2-a\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{7}{2-a}

Affinché questo limite sia infinito, dobbiamo richiedere che il denominatore del risultato sia 0

2-a=0\iff a=2

in questo modo la funzione diventa:

f(x)=\frac{x+3}{4x^2-2 x}=\frac{x+3}{x(4x-2)}

Osserviamo che nell'ultimo passaggio abbiamo raccolto totalmente x.

Calcoliamo il dominio della funzione f(x) pretendendo che il denominatore sia diverso da 0

x(4x-2)\ne0\to x\ne0\wedge x\ne\frac{1}{2}

dove il simbolo \wedge indica il connettivo logico et.

Oltre al punto di discontinuità x_{0}=\frac{1}{2}, la funzione presenta un ulteriore punto di discontinuità: x_1=0.

Studiamo la natura di x_1=0, impostando i limiti destro e sinistro per x\to0 e calcolandoli mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

\\ \lim_{x\to0^{+}}\frac{x+3}{x(4x-2)}= \left[\frac{-\frac{3}{2}}{0^+}\right]=-\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to 0^{-}}\frac{x+3}{x(4x-2)}=\left[\frac{-\frac{3}{2}}{0^{-}}\right]=+\infty

Dai risultati dei limiti deduciamo che x_1=0 è un punto di discontinuità di seconda specie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Elshaa

Re: Possibili punti di discontinuità di una funzione fratta con parametro #48118

avt
Elshaa
Cerchio
Perfetto! L'unica cosa che non mi era chiara era proprio come risalire all'altro punto di discontinuità. Grazie ancora.
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Os