Funzioni in due variabili : curve di livello #4769

avt
Jaki
Punto
Ciao, qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere questo esercizio sulle curve di livello di una funzione a due variabili e allegarmi le formule della circonferenza ?

Traccia: rappresenta le linee di livello corrispondenti alle quote z=0;\ z=1;\ z=-1;\ z=-2;\ z=2 per la funzione a due variabili

z = 4x^2 - 9y^2

Grazie anticipatamente
Jaki
 
 

Funzioni in due variabili : curve di livello #4779

avt
Omega
Amministratore
Un breve accenno sul significato geometrico di quello che stiamo per fare: una funzione di due variabili del tipo z=f(x,y) ha come grafico una superficie nello spazio tridimensionale. Ad ogni coppia di punti (x,y) del piano cartesiano associa un numero reale f(x,y), che in gergo viene detto quota.

La superficie che la funzione determina è la rappresentazione nello spazio euclideo tridimensionale dell'insieme dei punti (x,y,f(x,y)).

Ora: un'equazione della forma z=k con k\in\mathbb{R} rappresenta un piano parallelo al piano (x,y) disposto alla quota, o altezza, k. In sintesi: un piano orizzontale. Considerare l'equazione

f(x,y)=k

significa prendere l'intersezione del piano con il grafico della funzione, cioè con la superficie descritta dalla funzione di due variabili. L'intersezione, se esiste, è un luogo di punti che descrive una curva nel piano cartesiano preso alla quota z=k.

Fine della premessa.


Prendiamo la funzione di due variabili

z=4x^2-9y^2

e consideriamo i piani: z=0, z=1, z=-1, z=2, z=-2. Intersechiamoli uno ad uno con il grafico della funzione (sembra una cosa difficilissima, ma non lo è)

4x^2-9y^2=1

L'intersezione tra il piano e la superficie descritta dalla funzione è: un'iperbole.

4x^2-9y^2=-1

Anche qui abbiamo un'iperbole!

4x^2-9y^2=2

Come sopra...

4x^2-9y^2=-2

Ancora un'altra iperbole.

Gran finale:

4x^2-9y^2=0

diventa

y^2=\frac{4}{9}x^2

ossia

y=\pm\frac{2}{3}x

e l'intersezione del piano z=0 con la superficie della funzione consiste in due rette, di rispettivi coefficienti angolari m=\pm 2/3 e passanti per l'origine.


A proposito: le curve individuate dal piano z=k sulla superficie sono proprio le curve di livello della funzione.


Volevi le formule della circonferenza e non voglio deluderti. Segui il link emt
Ringraziano: frank094, Ifrit, francy84, AnimeLover93, CarFaby

Funzioni in due variabili : curve di livello #4783

avt
Jaki
Punto
Grazie Omega! emt
Ringraziano: Omega
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Os