Calcolo di un limite con forma indeterminata [0/0]

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#47274
avt
computer7
Visitatore

Ciao a tutti, sto cercando di svolgere questo limite che genera una forma indeterminata 0/0 ma non riesco a uscirne, potreste aiutarmi?

lim_(x →  0)(sin(3x))/(√(1−cos(3x)))

ho provato cono formule di duplicazione e somma, ma non trovo soluzione.

Grazie!

#47290
avt
Amministratore

A conti fatti il limite

lim_(x → 0)(sin(3x))/(√(1−cos(3x))) = •

non esiste e a breve vedremo il perché. Intanto anticipiamo che interverranno il limite notevole del seno

lim_(f(x) → 0)(sin(f(x)))/(f(x)) = 1

valido quando l'argomento del seno è infinitesimo, e il limite notevole del coseno

lim_(f(x) → 0)(1−cos(f(x)))/([f(x)]^2) = (1)/(2)

che funziona nel momento in cui l'argomento del coseno è infinitesimo.

Per ricondurci al limite notevole del seno moltiplichiamo e dividiamo per 3x:

• = lim_(x → 0)(sin(3x))/(3x)(3x)/(√(1−cos(3x))) =

In accordo con l'algebra dei limiti possiamo scrivere il limite del prodotto come prodotto di limiti

= lim_(x → 0)(sin(3x))/(3x)·lim_(x → 0)(3x)/(√(1−cos(3x))) =

Il primo fattore è esattamente il limite notevole del seno in forma generare e vale 1 pertanto ciò che rimane è il limite

= lim_(x → 0)(3x)/(√(1−cos(3x))) =

Dobbiamo utilizzare dei barbatrucchi algebrici che consentono di ricondurci al limite notevole del coseno, in particolare abbiamo bisogno del quadrato del suo argomento, pertanto moltiplichiamo e dividiamo per (3x)^2 = 9x^2 all'interno del radicando

= lim_(x → 0)(3x)/(√((1−cos(3x))/(9x^2)·9x^2)) =

e grazie alla proprietà dei radicali sul prodotto scriviamo

= lim_(x → 0)(3x)/(√((1−cos(3x))/(9x^2))·√(9x^2)) =

Applichiamo l'identità √(9x^2) = 3|x| così da scrivere il limite in forma equivalente

= lim_(x → 0)(3x)/(3|x|·√((1−cos(3x))/(9x^2))) =

In accordo con il limite notevole del coseno, il radicando tende a (1)/(2)

 = lim_(x → 0)(3x)/(3|x|√((1)/(2))) = lim_(x → 0)(3x)/(3|x|)·√(2) =

e trasportando fuori dal limite la costante moltiplicativa otterremo

= √(2)lim_(x → 0)(x)/(|x|) =

La presenza del valore assoluto impone lo studio del limite destro e del limite sinistro. Iniziamo dal limite destro

√(2)lim_(x → 0^+)(x)/(|x|) = √(2)

questo perché quando x tende a 0 per valori positivi si ha che |x| = x. Per il limite sinistro scriveremo

√(2)lim_(x → 0^−)(x)/(|x|) = −√(2)

In questo caso infatti, quando x tende a 0 per valori negativi si ha che |x| = −x.

Il limite bilatero non esiste perché il limite destro e il limite sinistro esistono finiti ma non coincidono.

Ringraziano: Omega, Pi Greco
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