Calcolo di un limite con forma indeterminata [0/0]

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Calcolo di un limite con forma indeterminata [0/0] #47274

avt
computer7
Visitatore
Ciao a tutti, sto cercando di svolgere questo limite che genera una forma indeterminata 0/0 ma non riesco a uscirne, potreste aiutarmi?

\lim_{x\rightarrow 0 }{}\frac{\sin{\left(3x\right)}}{\sqrt{1-\cos{\left(3x\right)}}}

ho provato cono formule di duplicazione e somma, ma non trovo soluzione.

Grazieeee! emt
 
 

Re: Calcolo di un limite con forma indeterminata [0/0] #47290

avt
Ifrit
Amministratore
A conti fatti il limite

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{\sqrt{1-\cos(3x)}}=\bullet

non esiste e a breve vedremo il perché. Intanto anticipiamo che interverranno il limite notevole del seno

\lim_{f(x)\to 0}\frac{\sin(f(x))}{f(x)}=1

valido quando l'argomento del seno è infinitesimo, e il limite notevole del coseno

\lim_{f(x)\to 0}\frac{1-\cos(f(x))}{[f(x)]^2}=\frac{1}{2}

che funziona nel momento in cui l'argomento del coseno è infinitesimo.

Per ricondurci al limite notevole del seno moltiplichiamo e dividiamo per 3x:

\bullet=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x}\frac{3x}{\sqrt{1-\cos(3x)}}=

In accordo con l'algebra dei limiti possiamo scrivere il limite del prodotto come prodotto di limiti

=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{3x}{\sqrt{1-\cos(3x)}}=

Il primo fattore è esattamente il limite notevole del seno in forma generare e vale 1 pertanto ciò che rimane è il limite

=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{\sqrt{1-\cos(3x)}}=

Dobbiamo utilizzare dei barbatrucchi algebrici che consentono di ricondurci al limite notevole del coseno, in particolare abbiamo bisogno del quadrato del suo argomento, pertanto moltiplichiamo e dividiamo per (3x)^2=9x^2 all'interno del radicando

=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{\sqrt{\frac{1-\cos(3x)}{9x^2}\cdot 9x^2}}=

e grazie alla proprietà dei radicali sul prodotto scriviamo

=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{\sqrt{\frac{1-\cos(3x)}{9x^2}}\cdot \sqrt{9x^2}}=

Applichiamo l'identità \sqrt{9x^2}=3|x| così da scrivere il limite in forma equivalente

=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{3|x|\cdot\sqrt{\frac{1-\cos(3x)}{9x^2}}}=

In accordo con il limite notevole del coseno, il radicando tende a \frac{1}{2}

\\ =\lim_{x\to 0}\frac{3x}{3|x|\sqrt{\frac{1}{2}}}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}\frac{3x}{3|x|}\cdot\sqrt{2}=

e trasportando fuori dal limite la costante moltiplicativa otterremo

=\sqrt{2}\lim_{x\to 0}\frac{x}{|x|}=

La presenza del valore assoluto impone lo studio del limite destro e del limite sinistro. Iniziamo dal limite destro

\sqrt{2}\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=\sqrt{2}

questo perché quando x tende a 0 per valori positivi si ha che |x|= x. Per il limite sinistro scriveremo

\sqrt{2}\lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-\sqrt{2}

In questo caso infatti, quando x tende a 0 per valori negativi si ha che |x|=-x.

Il limite bilatero non esiste perché il limite destro e il limite sinistro esistono finiti ma non coincidono.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os