Calcolo di un limite con forma indeterminata [0/0]

Ciao a tutti, sto cercando di svolgere questo limite che genera una forma indeterminata 0/0 ma non riesco a uscirne, potreste aiutarmi?



ho provato cono formule di duplicazione e somma, ma non trovo soluzione.

Grazie!

A conti fatti il limite



non esiste e a breve vedremo il perché. Intanto anticipiamo che interverranno il limite notevole del seno



valido quando l'argomento del seno è infinitesimo, e il limite notevole del coseno



che funziona nel momento in cui l'argomento del coseno è infinitesimo.

Per ricondurci al limite notevole del seno moltiplichiamo e dividiamo per :



In accordo con l'algebra dei limiti possiamo scrivere il limite del prodotto come prodotto di limiti



Il primo fattore è esattamente il limite notevole del seno in forma generare e vale 1 pertanto ciò che rimane è il limite



Dobbiamo utilizzare dei barbatrucchi algebrici che consentono di ricondurci al limite notevole del coseno, in particolare abbiamo bisogno del quadrato del suo argomento, pertanto moltiplichiamo e dividiamo per all'interno del radicando



e grazie alla proprietà dei radicali sul prodotto scriviamo



Applichiamo l'identità così da scrivere il limite in forma equivalente



In accordo con il limite notevole del coseno, il radicando tende a



e trasportando fuori dal limite la costante moltiplicativa otterremo



La presenza del valore assoluto impone lo studio del limite destro e del limite sinistro. Iniziamo dal limite destro



questo perché quando tende a 0 per valori positivi si ha che . Per il limite sinistro scriveremo



In questo caso infatti, quando tende a 0 per valori negativi si ha che .

Il limite bilatero non esiste perché il limite destro e il limite sinistro esistono finiti ma non coincidono.