Risolvere un integrale...in terza liceo!

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Risolvere un integrale...in terza liceo! #47083

avt
simo963
Punto
Ciao a tutti. Mi serve una mano per risolvere il seguente integrale: premetto che io sono in terza liceo e il professore ci ha "sfidato" a risolvere questo integrale pur non avendoceli spiegati.

\int_{1}^{5}{(-y^2+6y-5)dx}
 
 

Re: Risolvere un integrale...in terza liceo! #47117

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao simo963 emt

Ho problemi di interpretazione. Se consideriamo come variabile di integrazione la x allora -y^2+6y-5 è una costante rispetto alla variabile x pertanto possiamo procedere in questo modo:

\int_{1}^{5}(-y^2+6y-5)dx= (-y^2+6 y-5)\int_{1}^{5}dx=

(-y^2+6y-5)[x]_{1}^{5}= (-y^2+6y-5)(5-1)=

-4y^2+24 y-20

Sinceramente, penso che il tuo professore abbia un po' esagerato con la sfida. Non è giusto dare un integrale definito ad un ragazzo di terza superiore che non ha ancora acquisito le conoscenze necessarie. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois

Re: Risolvere un integrale...in terza liceo! #47120

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Simo.. emt

Sei sicuro di aver scritto correttamente l'integrale? Perché la variabile che compare all'interno dell'integrale (y) è diversa dalla variabile rispetto la quale di deve integrare (che è la x)

In ogni caso risolvo l'integrale che hai scritto, ovvero:

\int_{1}^{5}{\left(-y^{2}+6y-5\right)dx}

Per la linearità dell'integrale (in parole povere l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali), lo possiamo scrivere come:

\int_{1}^{5}{\left(-y^2\right)dx} + \int_{1}^{5}{\left(6y\right)dx}+ \int_{1}^{5}{\left(-5\right)dx}

Ancora, per la linearità (in parole povere possiamo "togliere fuori l'integrale" tutte le costanti rispetto alla variabile di integrazione, in questo caso tutto quello in cui non compare la x) abbiamo:

-y^2\int_{1}^{5}{\left(1\right)dx} +6y\int_{1}^{5}{\left(1\right)dx}-5\int_{1}^{5}{\left(1\right)dx}

Ora:

\int_{1}^{5}{\left(1\right)dx} = \left[x\right]_{1}^{5} = 5-1 = 4

Che ho fatto?

Semplicemente, risolvere:

\int_{1}^{5}{\left(1\right)dx}

vuol dire trovare una funzione la cui derivata sia 1 (cioè quello che sta all'interno dell'integrale) e fare la sottrazione tra il valore che assume all'estremo alto (in questo caso 5) e quello che assume all'estremo basso (in questo caso 1)

Quindi alla fine il tuo integrale vale:

-y^2*4 + 6y*4 - 5*4 = -4y^2+24y-20

Spero di essere stato chiaro.. Non saprei come spiegarlo con parole più semplici emt

Però se hai dubbi chiedi pure emt

In ogni caso mi sembra esagerato dare un esercizio del genere ad un ragazzo di terzo superiore emt emt emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit

Re: Risolvere un integrale...in terza liceo! #47153

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti emt

do pressoché per scontato che le corrette osservazioni di Ifrit e Galois in merito alla variabile di integrazione trovino soluzione in un'erronea scrittura dell'integrale.

L'integrale dovrebbe essere

\int_{1}^{5}{(-y^2+6y-5)dy}

che l'esercizio proposto dal professore sia in realtà una provocazione che riguarda il significato geometrico dell'integrale di Riemann?

Supposizione personale: il professore butta lì una frase come "sappiate che l'integrale di Riemann ha il significato geometrico di area compresa tra il grafico della funzione e l'asse della variabile", variabile che qui chiamiamo y. E' del tutto equivalente scrivere l'integrale come

I=\int_{1}^{5}{(-x^2+6x-5)dx}

cosicché potremmo dire in tutta tranquillità, onde evitare che le notazioni possano fuorviare il lettore, che I è l'area compresa tra il grafico della funzione integranda y=-x^2+6x-5 e l'asse delle ascisse, sull'intervallo [1,5].

La funzione integranda ha per grafico una parabola ad asse di simmetria verticale, con vertice in x=3 che è proprio il punto medio dell'intervallo di integrazione.

Morale: se la mia supposizione sulla frase pronunciata dal professore è corretta, una rilettura del tutto equivalente dell'esercizio e del tutto abbordabile per uno studente di terza liceo, è la seguente

"calcolare l'area del triangolo mistilineo individuato dall'arco di parabola y=-x^2+6x-5 con 1\leq x\leq 5 e base il segmento che giace sull'asse delle ascisse tra x_1=1 e x_2=5.".
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Galois
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