Trovare i coefficienti di una funzione avendo asintoti e retta tangente

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Trovare i coefficienti di una funzione avendo asintoti e retta tangente #46773

avt
irene21
Cerchio
Ciao! Sto svolgendo un quesito sulle derivate: devo determinare i parametri di una funzione a partire dagli asintoti e dal coefficiente angolare della retta tangente in un punto.

Ho avuto un piccolo intoppo, in realtà ho terminato l'esercizio, ma ho un dubbio sulla sua correttezza... vi posto il testo sperando in un aiuto emt grazie mille!

Determinare i coefficienti a e b affinché la curva di equazione

y=\frac{-x^2 +ax+b}{cx+9}

abbia per asintoti le rette x=-3 e y=\frac{-x}{3} +1 e nel punto di ascissa x=-1 la retta tangente abbia coefficiente angolare pari a \frac{1}{12}.


Dunque io l'ho svolto così: dato che x=-3 è l'asintoto verticale e sappiamo che questo si ottiene studiando i punti non accettabili dal dominio, dato che la nostra è una funzione fratta il dominio ci impone che il denominatore debba essere diverso da 0; allora, per trovare c, faccio il ragionamento opposto cioè pongo il denominatore = 0 con x=-3 ovviamente. ne risulta c=3.

Poi per trovare i coefficienti a e b, ho trovato la derivata nel punto x=-1 ed eguagliata a \frac{1}{12} così da ottenere 3a-b=-4 che dovrebbe essere la prima equazione del sistema per trovare i coefficienti a e b. Essendo 2 le incognite mi serve un'altra equazione che ho ricavato attraverso il limite obliquo. Sappiamo che nell'equazione del limite obliquo (y=mx+q) la q la trovo \lim_{x\to \infty}{f(x)-mx} nel nostro caso ho quindi eguagliato l'equazione a 1, cioè:

\frac{-x^2+ax+b}{3x+9}+ \frac{x}{3} =1.

Risulta quindi x=\frac{9-b}{a} ma dato che x\to \infty a dovrebbe essere 0 e quindi mettendo a sistema con l'equazione precedente b=4. Sono incerta su quest'ultimo ragionamento, non avendo la soluzione non posso neppure controllare.

Spero che avrete la pazienza di dargli un'occhiata, grazie anticipatamente! emt
 
 

Re: Trovare i coefficienti di una funzione avendo asintoti e retta tangente #46779

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Irene21, ci sei quasi! emt

Hai commesso un errore nella parte dell'asintoto obliquo (termine noto)

Dovevi imporre che:

\lim_{x\to \infty}\frac{-x^2+a x+b}{3x+9}+\frac{x}{3}=1

Facendo i conti otterrai che:

\lim_{x\to \infty}\frac{(3+a) x+b}{3 (3+x)}= \frac{3+a}{3}

Imponiamo l'uguaglianza con 1:

\frac{a+3}{3}=1\iff a=0

Grazie a questo valore possiamo determinare b

b=4

Quindi la funzione è:

y= \frac{-x^2+4}{3x+9}

Ecco il grafico a conferma dei risultati


funzione_razionale_ifrit


In rosso l'asintoto obliquo, in verde l'asintoto verticale, in blu il grafico della funzione.

Vedi la lezione sull'asintoto obliquo e sull'asintoto verticale
Ringraziano: Omega, Pi Greco, irene21, Galois

Re: Trovare i coefficienti di una funzione avendo asintoti e retta tangente #46782

avt
Galois
Amministratore
Ciao Irene emt

Hai fatto un piccolo errore quando hai considerato l'asintoto obliquo.

Non capisco infatti come hai fatto a giungere ad avere:

\frac{-x^2+ax+b}{3x+9}+ \frac{x}{3} =1

Inoltre questa affermazione:

Risulta quindi x=\frac{9-b}{a} ma dato che x\to \infty a dovrebbe essere 0

Non sta ne in cielo ne in terra! emt Ti ricordo che l'intercetta (o la q) dell'asintoto obliquo è data da:

q:= \lim_{x\to +\infty}\left({f(x)-mx}\right)

nel nostro caso quindi dobbiamo porre:

\lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{-x^2 +ax+b}{3x+9}+\frac{x}{3}\right)} = 1

Calcoliamo quindi il limite.

\lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{-x^2 +ax+b}{3(x+3)}+\frac{x}{3}\right) = \lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{-x^{2}+ax+b+x^{2}+3x}{3(x+3)}\right)

=\lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{(a+3)x+b}{3(x+3)}\right) = \frac{a+3}{3}

in quanto il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore.

Quindi dall'imposizione fatta hai:

\frac{a+3}{3}=1 \Leftrightarrow a=0

Sostituita nella prima equazione hai quindi b=4

Spero di essere stato chiaro emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, irene21

Re: Trovare i coefficienti di una funzione avendo asintoti e retta tangente #46786

avt
irene21
Cerchio
Si perdonami, mi sono accorta della sciocchezza emt chiedo venia emt
Ringraziano: Galois
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Os