Asintoto obliquo di una funzione con radice cubica

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Asintoto obliquo di una funzione con radice cubica #46459

avt
irene21
Cerchio
Ciao a tutti ragazzi emt avrei bisogno di un aiutino a trovare l'equazione dell'asintoto obliquo di una funzione irrazionale con una radice cubica.

y=(-x^3+2x^2-x)^{1/3}

dunque considerando l'equazione dell'asintoto y=mx+q, trovato m mi risulta -1, quindi trovando q questo mi risulta 0.

La soluzione all'esercizio però è y=\frac{2}{3}-x, perché \frac{2}{3} emt

Mi potete aiutare? Grazie mille anticipatamente emt a presto!
 
 

Re: Asintoto obliquo di una funzione con radice cubica #46478

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Irene21 emt

Hai correttamente determinato il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo. Calcoliamo ora il termine noto:

q= \lim_{x\to +\infty}f(x)-mx=

=\lim_{x\to +\infty}(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}-(-1)x

=\lim_{x\to +\infty}(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}+x

Siamo di fronte ad una forma indeterminata [-\infty+\infty]

Io propongo di razionalizzare. Moltiplichiamo e dividiamo per

[(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}]^2- x(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}+x^2


così il limite diventa:

=\lim_{x\to +\infty}\frac{[(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}+x]\left\{[(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}]^2- x(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}+x^2 \right\}}{[(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}]^2- x(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}+x^2 }

Osserva che al numeratore hai una cosa di questo tipo:

(A+B)(A^2-AB+B^2)= (A^3+B^3)

dove A=(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}} mentre B= x


In definitiva il numeratore diventa:

=\lim_{x\to +\infty}\frac{-x^3+2x^2-x+x^3}{[(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}]^2- x(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}+x^2 }


=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-x}{[(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}]^2- x(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}+x^2 }


Ora osserva che quando x tende a più infinito:

[(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}]^2\sim x^2

mentre

x(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}\sim -x^2

Devi ragionare sull'ordine di infinito
Sostituendo nel limite:

=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-x}{x^2+ x^2+x^2 }=

=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-x}{3x^2 }=\frac{2}{3}

Che limite orripilante emt
Ringraziano: Omega

Re: Asintoto obliquo di una funzione con radice cubica #46484

avt
Ifrit
Ambasciatore
M'è venuto in mente un altro metodo, secondo me più facile da utilizzare:

\lim_{x\to \infty}(-x^3+2x^2-x)^{\frac{1}{3}}+x

Mettiamo in evidenza -x^3 dentro la parentesi:

\lim_{x\to \infty}\left(-x^3\left(1+\frac{-2x^2+x}{x^3}\right)\right)^{\frac{1}{3}}+x


Per le proprietà degli esponenti razionali:

\lim_{x\to \infty}-x\left(1+\frac{-2x^2+x}{x^3}\right)^{\frac{1}{3}}+x

mettiamo in evidenza -x

\lim_{x\to \infty}-x\left[\left(1+\frac{-2x^2+x}{x^3}\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]


Adesso faremo uso del limite notevole:

\lim_{f(x)\to 0}\frac{(1+f(x))^{\alpha}-1}{f(x)}= \alpha

nel nostro caso la funzione f(x)= \frac{-2x^2+x}{x^3} che tende a zero quando x tende a infinito. Bene, per ricondurci al limite notevole moltiplichiamo e dividiamo per \frac{-2x^2+x}{x^3}

\lim_{x\to \infty}-x\cdot\frac{-2x^2+x}{x^3} \frac{\left[\left(1+\frac{-2x^2+x}{x^3}\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{\frac{-2x^2+x}{x^3}}=

\overbrace{\lim_{x\to \infty}-x\cdot\frac{-2x^2+x}{x^3} }^{=2}\overbrace{\lim_{x\to \infty}\frac{\left[\left(1+\frac{-2x^2+x}{x^3}\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{\frac{-2x^2+x}{x^3}}}^{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}

Insomma... tutt'e due i metodi non sono proprio immediati :\
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Asintoto obliquo di una funzione con radice cubica #46509

avt
irene21
Cerchio
Mille e mille volte il 2! è sicuramente più "immediato" nei suoi limiti ovviamente! (notare il doppio senso "nei suoi limiti" ahahah oddio la matematica mi dà alla testa o.o )
scherzi a parte, grazie mille emt non pensavo fosse cosi lungo xD
grazie ancora emt
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Os