Derivata di una funzione fratta con modulo #46057

avt
irene21
Cerchio
Ciao ragazzi! Avrei un problemino nel derivare una funzione con un modulo. Vi posto il testo sperando in un vostro aiuto emt grazie anticipatamente!

y = (|x|)/(1-x)

Mi rendo conto che sono molto restia alla derivazione di funzioni con i moduli eheh...Ancora grazie mille a tutti, a presto! emt
 
 

Re: Derivata di una funzione fratta con modulo #46115

avt
Omega
Amministratore
Ciao Irene21 emt

devi solo applicare la regola di derivazione del rapporto e ricordare la formula per la derivata del valore assoluto di x

f'(x) = ((d)/(dx)[|x|]·(1-x)-|x|·(d)/(dx)[1-x])/((1-x)^2)

dove (d)/(dx)|x| = (|x|)/(x). Lascio a te i restanti calcoli, non credo che avrai problemi nel portarli a termine. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, irene21

Re: Derivata di una funzione fratta con modulo #46206

avt
irene21
Cerchio
perfetto! io l'ho svolto nello stesso modo... però evidentemente sbaglio qualcosa perchè il risultato me lo da come
(x)/((x-1)^2√(x^2))
che poi non capisco perchè non semplifica numeratore e denominatore emt
ad ogni modo, a me invece, mettendo |x| in evidenza al numeratore, viene (|x|(2-x))/(x(1-x)^2)
evidentemente è sbagliato! ma cosa sbaglio? emt
Ancora grazie emt

Re: Derivata di una funzione fratta con modulo #46212

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao a tutti emt

@ Irene, Omega ha scritto il passaggio

f'(x) = ((d)/(dx)[|x|]·(1-x)-|x|·(d)/(dx)[1-x])/((1-x)^2)

Sviluppando le derivate:

((|x|)/(x) (1-x)-|x|(-1))/((1-x)^2) =

mettendo in evidenza |x|

(|x|((1-x)/(x)+1))/((1-x)^2) = (|x|((1-x+x)/(x)))/((1-x)^2) =

Elidendo i termini opposti:

((|x|)/(x))/((1-x)^2) = (|x|)/(x(1-x)^2)

Adesso attenta. Per definizione di valore assoluto

(|x|)/(x) = (√(x^2))/(x) = (√(x^2)√(x^2))/(x√(x^2)) = (x^2)/(x√(x^2)) = (x)/(√(x^2)) = (x)/(|x|)

In definitiva

f'(x) = (x)/(|x|(1-x)^2)

Se poi vuoi scrivere |x| = √(x^2) lo puoi fare, ma sinceramente non è molto elegante :\

Ah già, non puoi semplificare perché come ti dicevo √(x^2) = |x| e non x come puoi pensare.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, irene21

Re: Derivata di una funzione fratta con modulo #46220

avt
irene21
Cerchio
Oddio sono davvero stupida!! ho fatto un errore banalissimo emt
invece di derivare |x| e farlo restare al numeratore ho scritto |x| al numeratore e x al denominatore con (1-x)^2
Spero di essere stata vagamente chiara emt mannaggia e ci stavo esaurendo su quest'esercizio perchè non capivo l'errore emt
Grazie mille! siete gentilissimi e pazienti come sempre emt
una buona serata e grazie ancora!
Ringraziano: Ifrit
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Os