Derivata di una funzione fratta con modulo

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Derivata di una funzione fratta con modulo #46057

avt
irene21
Cerchio
Ciao ragazzi! Avrei un problemino nel derivare una funzione con un modulo. Vi posto il testo sperando in un vostro aiuto emt grazie anticipatamente!

y=\frac{|x|}{1-x}

Mi rendo conto che sono molto restia alla derivazione di funzioni con i moduli eheh...Ancora grazie mille a tutti, a presto! emt
 
 

Re: Derivata di una funzione fratta con modulo #46115

avt
Omega
Amministratore
Ciao Irene21 emt

devi solo applicare la regola di derivazione del rapporto e ricordare la formula per la derivata del valore assoluto di x

f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}[|x|]\cdot (1-x)-|x|\cdot \frac{d}{dx}[1-x]}{(1-x)^2}

dove \frac{d}{dx}|x|=\frac{|x|}{x}. Lascio a te i restanti calcoli, non credo che avrai problemi nel portarli a termine. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, irene21

Re: Derivata di una funzione fratta con modulo #46206

avt
irene21
Cerchio
perfetto! io l'ho svolto nello stesso modo... però evidentemente sbaglio qualcosa perchè il risultato me lo da come
\frac{x}{(x-1)^2\sqrt{x^2}}
che poi non capisco perchè non semplifica numeratore e denominatore emt
ad ogni modo, a me invece, mettendo |x| in evidenza al numeratore, viene \frac{|x|(2-x)}{x(1-x)^2}
evidentemente è sbagliato! ma cosa sbaglio? emt
Ancora grazie emt

Re: Derivata di una funzione fratta con modulo #46212

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao a tutti emt

@ Irene, Omega ha scritto il passaggio

f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}[|x|]\cdot (1-x)-|x|\cdot \frac{d}{dx}[1-x]}{(1-x)^2}

Sviluppando le derivate:

\frac{\frac{|x|}{x} (1-x)-|x|(-1)}{(1-x)^2}=

mettendo in evidenza |x|

\\ \frac{|x|\left(\frac{1-x}{x}+1\right)}{(1-x)^2}=\\ \\ \\= \frac{|x|\left(\frac{1-x+x}{x}\right)}{(1-x)^2}=

Elidendo i termini opposti:

\frac{\frac{|x|}{x}}{(1-x)^2}=\frac{|x|}{x(1-x)^2}

Adesso attenta. Per definizione di valore assoluto

\\ \frac{|x|}{x}= \frac{\sqrt{x^2}}{x}= \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2}}{x\sqrt{x^2}}=\\ \\ \\= \frac{x^2}{x\sqrt{x^2}}= \frac{x}{\sqrt{x^2}}= \frac{x}{|x|}

In definitiva

f'(x)= \frac{x}{|x|(1-x)^2}

Se poi vuoi scrivere |x|=\sqrt{x^2} lo puoi fare, ma sinceramente non è molto elegante :\

Ah già, non puoi semplificare perché come ti dicevo \sqrt{x^2}=|x| e non x come puoi pensare.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, irene21

Re: Derivata di una funzione fratta con modulo #46220

avt
irene21
Cerchio
Oddio sono davvero stupida!! ho fatto un errore banalissimo emt
invece di derivare |x| e farlo restare al numeratore ho scritto |x| al numeratore e x al denominatore con (1-x)^2
Spero di essere stata vagamente chiara emt mannaggia e ci stavo esaurendo su quest'esercizio perchè non capivo l'errore emt
Grazie mille! siete gentilissimi e pazienti come sempre emt
una buona serata e grazie ancora!
Ringraziano: Ifrit
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Os