Calcolo della derivata di un rapporto con derivazione composta

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Calcolo della derivata di un rapporto con derivazione composta #45941

avt
Elshaa
Cerchio
Giorno a tutti emt non sono riuscito a derivare il seguente rapporto di funzioni.

y=\frac{\ln[({x+1})^{2}]}{2e^{x}}

La funzione più esterna è la frazione; applico quindi la formula di derivazione del rapporto, ma svolgendo i calcoli non riesco a trovarmi, per favore potreste darmi una mano? emt
 
 

Re: Calcolo della derivata di un rapporto con derivazione composta #45953

avt
Galois
Amministratore
Ciao Elshaa,

dobbiamo calcolare la derivata di una funzione del tipo:

y=\frac{f(x)}{g(x)}

ossia la derivata di un rapporto. In generale:

 \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2}

Nel nostro caso:

f(x)=\ln[(x+1)^{2}]

g(x) = 2e^{x}

Calcoliamo separatamente la derivata prima delle due funzioni.

f'(x) = \frac{1}{(x+1)^{2}}*2(x+1)

Qui abbiamo applicato la derivata di una funzione composta

g'(x)=2e^{x}

Sostituendo nella formula sopra, abbiamo:

y' = \frac{\frac{2(x+1)}{(x+1)^{2}}2e^{x}-\ln[(x+1)^{2}]2e^{x}}{4e^{2x}}

semplifichiamo x+1

=\frac{\frac{4e^{x}}{x+1}-\ln[(x+1)^{2}]2e^{x}}{4e^{2x}}

raccogliamo il fattore comune e^{x}

=\frac{2e^{x}\left[\frac{2}{x+1}-\ln[(x+1)^{2}]\right]}{4e^{2x}}

Semplifichiamo e^{x} con il denominatore e scriviamo in forma normale la frazione di frazioni

=\frac{2-(x+1)\ln[(x+1)^{2}]}{2e^{x}(x+1)}

La derivata prima della funzione di partenza è

y'=\frac{2-(x+1)\ln[(x+1)^2]}{2e^{x}(x+1)}

Se hai dubbi.. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Elshaa

Re: Calcolo della derivata di un rapporto con derivazione composta #45955

avt
Manuel1990
Sfera
Elshaa ha scritto:
La funzione più esterna è la frazione; applico quindi la formula di derivazione del rapporto...


Perfetto!! hai compreso il metodo, ora vediamo dettagliatamente i passaggi:

y=\frac{\ln[({x+1})^{2}]}{2e^{x}}

Qui puoi trovare ilCalcolo delle Derivate e qui il caso delle Derivate Composte.

Procediamo:

Deriviamo il Numeratore:

\ln[(x+1)^2] \rightarrow \frac{2(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)}

Deriviamo il Denominatore:

2 e^x \rightarrow 2 e^x (resta uguale poiché la derivata di e^x resta e^x e il 2 è una semplice costante)

Quindi la derivata sarà:

y=\frac{\fra{2}{x+1} 2 e^x - \ln[({x+1})^{2}]2e^{x}}{4e^{2x}}

e mettendo in evidenza 2e^x e semplificando con il denominatore:

y' = \frac{\frac{2}{x+1} - ln(x+1)}{2e^x}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Elshaa

Re: Calcolo della derivata di un rapporto con derivazione composta #45975

avt
Elshaa
Cerchio
Grazie a entrambi! emt
Ringraziano: Galois
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Os