Calcolo della derivata di un rapporto con derivazione composta

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Calcolo della derivata di un rapporto con derivazione composta #45941

avt
Elshaa
Cerchio
Giorno a tutti emt non sono riuscito a derivare il seguente rapporto di funzioni.

y = (ln[(x+1)^(2)])/(2e^(x))

La funzione più esterna è la frazione; applico quindi la formula di derivazione del rapporto, ma svolgendo i calcoli non riesco a trovarmi, per favore potreste darmi una mano? emt
 
 

Re: Calcolo della derivata di un rapporto con derivazione composta #45953

avt
Galois
Amministratore
Ciao Elshaa,

dobbiamo calcolare la derivata di una funzione del tipo:

y = (f(x))/(g(x))

ossia la derivata di un rapporto. In generale:

((f(x))/(g(x)))'= (f'(x) g(x)-f(x) g'(x))/([g(x)]^2)

Nel nostro caso:

f(x) = ln[(x+1)^(2)]

g(x) = 2e^(x)

Calcoliamo separatamente la derivata prima delle due funzioni.

f'(x) = (1)/((x+1)^(2))*2(x+1)

Qui abbiamo applicato la derivata di una funzione composta

g'(x) = 2e^(x)

Sostituendo nella formula sopra, abbiamo:

y'= ((2(x+1))/((x+1)^(2))2e^(x)-ln[(x+1)^(2)]2e^(x))/(4e^(2x))

semplifichiamo x+1

= ((4e^(x))/(x+1)-ln[(x+1)^(2)]2e^(x))/(4e^(2x))

raccogliamo il fattore comune e^(x)

= (2e^(x)[(2)/(x+1)-ln[(x+1)^(2)]])/(4e^(2x))

Semplifichiamo e^(x) con il denominatore e scriviamo in forma normale la frazione di frazioni

= (2-(x+1)ln[(x+1)^(2)])/(2e^(x)(x+1))

La derivata prima della funzione di partenza è

y'= (2-(x+1)ln[(x+1)^2])/(2e^(x)(x+1))

Se hai dubbi.. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Elshaa

Re: Calcolo della derivata di un rapporto con derivazione composta #45955

avt
Manuel1990
Sfera
Elshaa ha scritto:
La funzione più esterna è la frazione; applico quindi la formula di derivazione del rapporto...


Perfetto!! hai compreso il metodo, ora vediamo dettagliatamente i passaggi:

y = (ln[(x+1)^(2)])/(2e^(x))

Qui puoi trovare ilCalcolo delle Derivate e qui il caso delle Derivate Composte.

Procediamo:

Deriviamo il Numeratore:

ln[(x+1)^2] arrow (2(x+1))/((x+1)^2) = (2)/(x+1)

Deriviamo il Denominatore:

2 e^x arrow 2 e^x (resta uguale poiché la derivata di e^x resta e^x e il 2 è una semplice costante)

Quindi la derivata sarà:

y = (fra2x+1 2 e^x-ln[(x+1)^(2)]2e^(x))/(4e^(2x))

e mettendo in evidenza 2e^x e semplificando con il denominatore:

y'= ((2)/(x+1)-ln(x+1))/(2e^x)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Elshaa

Re: Calcolo della derivata di un rapporto con derivazione composta #45975

avt
Elshaa
Cerchio
Grazie a entrambi! emt
Ringraziano: Galois
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Os