Discutere la derivabilità di una funzione in valore assoluto

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Discutere la derivabilità di una funzione in valore assoluto #45929

avt
irene21
Cerchio
Sto studiando i punti di non derivabilità di una funzione in modulo ma non riesco proprio a capire come si faccia.

Ho letto la lezione del sito, ho visto quelle del mio libro ma non capisco ancora perché non mi vengano neppure gli esercizi più stupidi...

Ve ne posto uno che è abbastanza semplice, giusto almeno per capire il meccanismo... Vi ringrazio anticipatamente!

y=|9-x^{2}|
 
 

Re: Discutere la derivabilità di una funzione in valore assoluto #45954

avt
Omega
Amministratore
Ciao Irene21,

se hai già letto la lezione è strano che sussistano dubbi così generici. Ad ogni modo...

Che la funzione

f(x)=|9-x^2|

sia continua su tutto il suo dominio, i.e. Dom(f)=\mathbb{R}, è abbastanza evidente. Essa è infatti composizione di due funzioni continue, un polinomio e il valore assoluto.

Di contro, il valore assoluto di x f(x)=|x| è una funzione non derivabile nell'unico punto in cui l'argomento si annulla.

Questo perché, come da definizione di funzione derivabile, i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale sono finiti ma assumono differenti valori.

Gli unici punti in cui dovrai studiare la derivabilità di f(y) sono dunque quelli in cui l'argomento si annulla:

9-x^2=0\to x=\pm 3

e perché possiamo stare tranquilli riguardo agli altri punti del dominio? Perché calcolando la derivata prima di f

f'(x)=\frac{|9-x^2|}{9-x^2}\cdot (-2x)

si vede che per ogni x\in Dom(f), x\neq \pm 3 essa è una funzione continua. Dunque in tali punti f è certamente derivabile.

Per quanto riguarda x=\pm 3, dovrai calcolare i due limiti del rapporto incrementale

\\ \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}

e

\\ \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(-3+h)-f(-3)}{h}\\ \\ \\ \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(-3+h)-f(-3)}{h}

Calcolandoli avremo modo di vedere che x=\pm 3 sono punti angolosi per f perché i suddetti limiti (presi a coppie) assumono valori finiti ma distinti.

Ad esempio consideriamo

\\ \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|9-(3+h)^2|-0}{h}=\\ \\ \\ =\lim_{h\to 0}\frac{|-6h-h^2|}{h}

Ora, distinguendo tra i due casi h\to 0^{+} e h\to 0^{-}, puoi specificare il segno dell'argomento del modulo ed eliminarlo. A sinistra di h=0 abbiamo -6h-h^2>0 e quindi |-6h-h^2|=+(-6h-h^2)

\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-6h-h^2}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}(-6-h)=-6

D'altra parte, a destra di h=0 abbiamo -6h-h^2<0 e quindi |-6h-h^2|=-(-6h-h^2)

\lim_{h\to 0^{+}}\frac{|-6h-h^2|}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{6h+h^2}{h}=+6
Ringraziano: Pi Greco, S216052

Re: Discutere la derivabilità di una funzione in valore assoluto #45958

avt
irene21
Cerchio
Ohohoh! (No non sono Babbo Natale, non illudetevi emt)

Ho appena scoperto che non riuscivo a farli perché non sapevo fare la derivata di un valore assoluto! E dato che il mio libro su 23 esercizi ne da 21 con i moduli e gli altri 2 sono troppo difficili per farli le prime volte, ho capito perché non me ne risultava neppure uno!

Questione risolta perché ho cercato il post dove spiegavate tutto in merito alla derivata del modulo, per il resto sei stato chiarissimo!

Grazie tantissimo sempre,
buon pomeriggio!
Ringraziano: Omega, Luigi Inge
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Os