Continuità e derivabilità di una funzione definita a tratti

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Continuità e derivabilità di una funzione definita a tratti #45730

avt
Elshaa
Cerchio
Sera a tutti emt premetto che è la prima volta che affronto lo studio della derivabilità e della continuità nel caso di funzioni definite a tratti, e necessito di alcune delucidazioni in merito.

Ho questa funzione definita a tratti

y=-2x+1 \mbox{ per } x<0

y=2x^2+x+1 \mbox{ per } x\geq 0.

Come da titolo dovrei determinare gli eventuali punti di discontinuità e di non derivabilità e indicarne il tipo. Il mio ragionamento è questo:

- per individuare il tipo di discontinuità calcolo il limite destro e sinistro delle rispettive funzioni nel punto x=0 e verifico se si ottiene uno solo dei tre tipi di discontinuità; nel mio caso ho trovato che non c'è discontinuità di alcun tipo perché i limiti sono uguali e finiti (è una discontinuità eliminabile?).

- Per calcolare i punti di non derivabilità ho dapprima calcolato le derivate delle rispettive funzioni; ho poi calcolato il limite delle derivate ottenendo sia per x\rightarrow 0^{-}, sia per x\rightarrow 0^{+} che il limite. Dato che i due limiti sono finiti e uguali in quel punto dovrei concludere che quest'ultimo è un punto angoloso?

Altra domanda:

mi serve disegnare il grafico della parabola e della retta?
Ringraziano: twins 23
 
 

Re: Continuità e derivabilità di una funzione definita a tratti #45736

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Elsha emt

Elshaa ha scritto:
[omissis]

- per individuare il tipo di discontinuità calcolo il limite destro e sinistro delle rispettive funzioni nel punto x=0 e verifico se si ottiene uno solo dei tre tipi di discontinuità; nel mio caso ho trovato che non c'è discontinuità di alcun tipo perché i limiti sono uguali e finiti (è una discontinuità eliminabile?).



Il procedimento è corretto, hai scoperto che la funzione è continua nel punto x=0, ma attenzione, non hai alcun tipo di discontinuità. Affinché tu abbia una discontinuità eliminabile nel punto x_0\in \mbox{dom}(f) infatti devono accadere 3 fatti:

f(x_0)= y_0

Inoltre il limite destro e il limite sinistro coincidono ma non sono uguali al valore della funzione nel punto x_0, cioè:

\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)= \lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=\ell

con y_0\ne \ell

La discontinuità si può eliminare ponendo f(x_0)= \ell



- Per calcolare i punti di non derivabilità ho dapprima calcolato le derivate delle rispettive funzioni; ho poi calcolato il limite delle derivate ottenendo sia per x\rightarrow 0^{-}, sia per x\rightarrow 0^{+} che il limite. Dato che i due limiti sono finiti e uguali in quel punto dovrei concludere che quest'ultimo è un punto angoloso?



Il procedimento è corretto, ma le conclusioni sono errate. Il limite destro e il limite sinistro della derivata prima sono diversi ma finiti, quindi x_0=0 è un punto di non derivabilità, in particolare abbiamo un punto angoloso.

Se il limite destro e il limite sinistro della derivata prima per x che tende a 0 coincidono allora diremo che la funzione è derivabile emt



Altra domanda:

mi serve disegnare il grafico della parabola e della retta?



Per x<0 devi disegnare la retta mentre per x>= 0 devi disegnare la parabola.


grafico_funzione_tratti_ifrit
Ringraziano: Omega, Elshaa, twins 23
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Os