Continuità e derivabilità di una funzione definita a tratti

Sera a tutti premetto che è la prima volta che affronto lo studio della derivabilità e della continuità nel caso di funzioni definite a tratti, e necessito di alcune delucidazioni in merito.

Ho questa funzione definita a tratti



.

Come da titolo dovrei determinare gli eventuali punti di discontinuità e di non derivabilità e indicarne il tipo. Il mio ragionamento è questo:

- per individuare il tipo di discontinuità calcolo il limite destro e sinistro delle rispettive funzioni nel punto e verifico se si ottiene uno solo dei tre tipi di discontinuità; nel mio caso ho trovato che non c'è discontinuità di alcun tipo perché i limiti sono uguali e finiti (è una discontinuità eliminabile?).

- Per calcolare i punti di non derivabilità ho dapprima calcolato le derivate delle rispettive funzioni; ho poi calcolato il limite delle derivate ottenendo sia per , sia per che il limite. Dato che i due limiti sono finiti e uguali in quel punto dovrei concludere che quest'ultimo è un punto angoloso?

Altra domanda:

mi serve disegnare il grafico della parabola e della retta?

Ciao Elsha

Elshaa ha scritto:


Il procedimento è corretto, hai scoperto che la funzione è continua nel punto , ma attenzione, non hai alcun tipo di discontinuità. Affinché tu abbia una discontinuità eliminabile nel punto infatti devono accadere 3 fatti:



Inoltre il limite destro e il limite sinistro coincidono ma non sono uguali al valore della funzione nel punto , cioè:



con

La discontinuità si può eliminare ponendo



Il procedimento è corretto, ma le conclusioni sono errate. Il limite destro e il limite sinistro della derivata prima sono diversi ma finiti, quindi è un punto di non derivabilità, in particolare abbiamo un punto angoloso.

Se il limite destro e il limite sinistro della derivata prima per x che tende a coincidono allora diremo che la funzione è derivabile





Per x<0 devi disegnare la retta mentre per x>= 0 devi disegnare la parabola.