Incertezza sul limite di una radice cubica

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Incertezza sul limite di una radice cubica #44706

avt
Elshaa
Cerchio
Giorno a tutti emt ho difficoltà nel calcolare un limite in cui compare una radice cubica.

Nell'affrontare la funzione

y=\sqrt[3]{x^{3}-1}

non riesco a risolvere il limite

\lim_{x\to +\infty }{(\sqrt[3]{x^{3}-1}-x)}.

Sono in presenza di una forma indeterminata [+\infty-\infty], ed il problema mi è causato dalla radice cubica (se fosse stata quadrata avrei sfruttato il prodotto notevole). Come dovrei procedere?
 
 

Re: Incertezza sul limite di una radice cubica #44722

avt
frank094
Maestro
Quando ti trovi di fronte ad una forma indeterminata del tipo [+ \infty - \infty] ed è presente almeno una radice, è spesso consigliabile ricorrere ad un qualche prodotto notevole!

\lim_{x \to + \infty}(\sqrt[3]{x^3 - 1} - x)=(\bullet)

Magari, a primo impatto, potrà non sembrarti nulla, ma in realtà qui c'è da applicare il prodotto notevole della differenza tra due cubi! Sappiamo infatti che

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Nel nostro caso poniamo:

a = \sqrt[3]{x^3 - 1} \qquad \qquad b = x

così che riusciamo ad individuare il fattore razionalizzante:

(a^2 + ab + b^2) = \sqrt[3]{(x^3 - 1)^2} + x \sqrt[3]{x^3 - 1} + x^2

Moltiplicando e dividendo per tale fattore il limite si riscrive come

\\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{(\sqrt[3]{x^3-1}-x)\cdot\left(\sqrt[3]{(x^3-1)^2}+x\sqrt[3]{x^3-1}+x^2\right)}{\sqrt[3]{(x^3-1)^2}+x\sqrt[3]{x^3-1}+x^2}= \\ \\ \\ =\lim_{x \to + \infty} \frac{x^3 - 1 - x^3}{\sqrt[3]{(x^3 - 1)^2} + x \sqrt[3]{x^3 - 1} + x^2}=

Sommando i termini simili al numeratore il limite diventa

=\lim_{x \to + \infty} \frac{-1}{\sqrt[3]{(x^3 - 1)^2} + x \sqrt[3]{x^3 - 1} + x^2} =\left[\frac{-1}{+\infty}\right]= 0

Il risultato è giustificato dall'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.
Ringraziano: Omega, Ifrit, Elshaa

Re: Incertezza sul limite di una radice cubica #44741

avt
Elshaa
Cerchio
Chiarissimo,grazie mille!emt
Ringraziano: frank094
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Os