Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti

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Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti #44572

avt
MurroneMilano
Punto
Salve, chi potrebbe darmi una mano a risolvere questo esercizio con una funzione definita a tratti?

Devo determinare il valore dei parametri affinché essa risulti continua in x = 0 e devo determinare l'equazione della retta tangente in x = 0 e gli eventuali punti stazionari, definendone la tipologia.

f(x)=

2 ln(x+1) + a per x<=0
-x^2 + bx +3 per x>0
 
 

Re: Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti #44626

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao MurroneMilano emt

Abbiamo la funzione:

f(x)= \begin{cases}2\ln(x+1)+a&\mbox{ se }x\le 0\\ -x^2+b x+3&\mbox{ se }x>0\end{cases}

Iniziamo con la continuità, dobbiamo richiedere che il limite sinistro e il limite destro per x che tende al punto di raccordo (x=0)

f(0)=2\ln(1)+a= a Abbiamo utilizzato il primo ramo della funzione perché x=0 soddisfa la condizione x<=0.


Adesso calcoliamo il limite sinistro in 0:

\lim_{x\to 0^{-}}f(x)= \lim_{x\to 0^{-}}-x^2+bx+3= 3


La condizione di continuità è quindi.

a=3

Affinché ci sia la retta tangente per x=0 dobbiamo richiedere la che la funzione f sia derivabile per x=0. Dobbiamo quindi determinare b\in\mathbb{R} tale che la funzione f sia derivabile in 0.

Per risolvere questa parte dell'esercizio, dobbiamo calcolare la derivata prima della funzione f:

f'(x)= \begin{cases}\frac{2}{x+1}&\mbox{ se }x<0\\ -2x +b&\mbox{ se }x>0\end{cases} [editato]

Dobbiamo verificare che il limite destro e il limite sinistro per x che tende al punto di raccordo, della funzione f'(x) siano uguali.

\lim_{x\to 0^-}f'(x)= \lim_{x\to 0^-}\frac{2}{x+1}= 2

\lim_{x\to 0^+}f'(x)= \lim_{x\to 0^+}-2x+b= b


Imponendo l'uguaglianza tra i due limiti otteniamo che la funzione è derivabile in 0 se a=3 e b=2

Dunque la funzione f che soddisfa le richieste dell'esercizio è:

f(x)= \begin{cases}2\ln(x+1)+3&\mbox{ se }x\le 0\\ -x^2+2x+3&\mbox{ se }x>0\end{cases}

Leggi la lezione sulla derivabilità in un punto per approfondire

Adesso calcoliamo l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto x_0=0. Utilizzeremo la formula

y-f(x_0)= f'(x_0)(x-x_0)

Abbiamo bisogno del valore che la funzione assume in 0

f(0)= 3

Calcoliamo la derivata prima in 0:

f'(0)= 2

L'equazione della retta è:

y-3= 2 x\implies y= 2x+3



Studiamo ora gli zeri della derivata prima, i quali si candidano come possibili punti di massimo o di minimo:


f'(x)=0\iff \begin{cases}\frac{2}{x+1}=0\\ x<0\end{cases}\cup \begin{cases}-2x+2=0\\ x>0\end{cases}

Il primo sistema non ammette soluzioni, il secondo sistema invece ha per soluzione:

x=1 che si candida come punto di massimo o di minimo.

Per determinare la natura del punto di massimo studiamo il segno della derivata prima, concentrandoci sul caso x>0, giacché la funzione per x<0 sappiamo essere crescente.

Per x>0 la derivata prima è positiva se -2x+2>0 se e solo se 0<x<1

mentre è negativa se x>1, quindi per x>0 la funzione f è crescente per 0<x<1 ed è decrescente per x>1 allora x=1 è un punto di massimo relativo (ed anche assoluto) il massimo (assoluto) vale

f(1)= 4
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Elshaa, MurroneMilano

Re: Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti #44715

avt
MurroneMilano
Punto
Ti ringrazio , precisissimo e completo . Spero ti poter continuare a postare e chiarire i miei dubbi , grazie ancora emt

Re: Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti #44721

avt
MurroneMilano
Punto
Un'altra cosa volevo chiederti se non ti dispiace :
Come mai se il parametro a = 2 ed il parametro b = 3 , nella funzione hai sostituito sia " a " che " b " con 3 ?
Grazie in anticipo

Re: Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti #44725

avt
Ifrit
Ambasciatore
E' stato un errore di digitazione, aspetta che correggo emt

Re: Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti #44727

avt
Ifrit
Ambasciatore
No, aspetta, in quale passaggio ho commesso questo errore?
La funzione è:

f(x)=\begin{cases}2\ln(x+1)+a&\mbox{ se }x\le 0\\ -x^2+bx+3&\mbox{ se } x>0\end{cases}

Se ad a sostituiamo 3 e a b sostituiamo 2 otteniamo:

f(x)=\begin{cases}2\ln(x+1)+3&\mbox{ se }x\le 0\\ -x^2+2x+3&\mbox{ se } x>0\end{cases}


ti trovi?
Ringraziano: Omega, MurroneMilano

Re: Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti #44728

avt
MurroneMilano
Punto
Ok grazie mille emt

Re: Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti #44729

avt
MurroneMilano
Punto
Si , hai ragione scusami non ci avevo fatto caso , ho fatto anche io confusione a primo impatto senza effettuare i calcoli. Perdonami.

Re: Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti #44771

avt
MurroneMilano
Punto
Ifrit scusami se ti disturbo ancora , potresti spiegarmi come mai nel momento in cui sei passato al calcolo della derivata prima hai posto x>0 sulla derivata di 2ln(x+1)+a dove prima era per x<=0 e x<0 per la derivata di -x^2+bx+3 dove prima era per x>0 ?

Re: Continuità e retta tangente per una funzione definita a tratti #44773

avt
Ifrit
Ambasciatore
E' stata una svista, ho editato! scusami emt

Per quanto riguarda il perché del fatto che x\le 0 a x<0 è dovuto al fatto che la derivata prima in zero deve essere calcolata a parte (lo abbiamo fatto dopo).

Risulta infatti che f'(0)=2


In definitiva la derivata prima della funzione è:

f'(x)= \begin{cases}\frac{2}{x+1}&\mbox{ se }x<0\\ 2&\mbox{ se }x=0\\ -2x+2&\mbox{ se }x>0\end{cases}

Il valore della derivata prima in 0 lo abbiamo calcolato quando abbiamo determinato il limite destro e il limite sinistro della derivata prima per x che tende a 0.

Spero di essermi espresso in modo decente...
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os