Calcolo di un limite con tangente ed un logaritmo

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Calcolo di un limite con tangente ed un logaritmo #44427

avt
JohnnyR
Cerchio
Cortesemente poteste aiutarmi a risolvere il limite di una funzione fratta con un logaritmo e una tangente? Sarebbe questo:

\lim_{x\to 0}\frac{x\tan(x)}{\log(1+3x^2)}

Grazie in anticipo!

Nota: con \log(x) indico il logaritmo in base e.
 
 

Re: Calcolo di un limite con tangente ed un logaritmo #44460

avt
Manuel1990
Sfera
Ciao!

Consideriamo il limite:

\lim_{x\to 0}\frac{x \tan(x)}{\log(1 + 3x^2)} =(\bullet)

visto che il limite tende a 0 possiamo utilizzare comodamente le valutazioni asintotiche derivanti dai limiti notevoli.

A numeratore

Sapendo che \tan(x)\sim_{x\to 0} , il numeratore soddisfa la relazione asintotica:

x\tan(x) \sim_{x\to 0}x\cdot x=x^2


A denominatore

Per quanto concerne il termine logaritmo, possiamo avvalerci della relazione asintotica notevole:

\log(1+t) \sim_{t\to 0} t

pertanto

\log(1+3x^2)\sim_{x\to 0}3x^2

Alla luce delle precedenti osservazioni, e per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti, il limite dato diventa:

(\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{3x^2} =\frac{1}{3}

Con la speranza di essere stato abbastanza chiaro ti auguro una buona serata!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, JohnnyR

Re: Calcolo di un limite con tangente ed un logaritmo #44541

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti emt

Volevo aggiungere un paio di osservazioni riguardo al calcolo del limite proposto, perché credo che JohnnyR essendo un liceale non conosca gli sviluppi in serie di Taylor.

Lo svolgimento proposto da Manuel è naturalmente corretto: gli sviluppi in serie permettono di determinare gli equivalenti asintotici desiderati nell'intorno del punto.

Quando però si tratta di equivalenti asintotici al primo ordine un'interpretazione equivalente, ma più semplice, è data dai limiti notevoli. In particolare ciascun limite notevole fornisce un'equivalenza asintotica facilmente deducibile e utilizzabile, come spieghiamo nella lezione "come si usano i limiti notevoli".

Naturalmente gli sviluppi in serie si rendono necessari in presenza di limiti in cui compaiono differenze di funzioni che coincidono al primo ordine non nullo di sviluppo, e che dunque richiedono un'analisi qualitativa superiore a tale ordine.

Nel caso di

\lim_{x\to 0}{\frac{x\tan{(x)}}{\log{(1+3x^2)}}}

possiamo fare riferimento diretto ai due limiti notevoli

\lim_{x\to 0}\frac{\tan{(x)}}{x}=1

\lim_{x\to 0}\frac{\log{(1+f(x))}}{f(x)}=1

dove nel secondo caso la richiesta è che f(x)\to 0 al tendere di x\to 0. Tale condizione è soddisfatta dal momento che, per noi, è f(x)=3x^2.

Le due precedenti uguaglianze ci dicono subito che

\tan{(x)}\sim_{x\to 0}x

\log{(1+3x^2)}\sim_{x\to 0}3x^2

e dunque si possono sostituire nel limite \tan{(x)} con x e \log{(1+3x^2)} con 3x^2. In parole povere, il simbolo \sim significa che i due termini a sinistra e a destra sono equivalenti nel passaggio al limite.

Da notare, JohnnyR, che tale metodo (leggi la lezione che ho linkato, mi raccomando) è semplicemente l'interpretazione rigorosa del metodo di applicazione algebrica dei limiti notevoli, che prevede di moltiplicare e dividere per un'opportuna quantità in modo da ricondursi al limite notevole desiderato. emt
Ringraziano: Pi Greco, JohnnyR, Manuel1990
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