Studio di una funzione integrale con integranda definita a tratti

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Studio di una funzione integrale con integranda definita a tratti #44386

avt
Yumina92
Punto
Ciao, all'esame di Analisi mi sono trovata di fronte questa funzione integrale da studiare, in cui l'integranda è una funzione definita a tratti, e sono rimasta un po' perplessa.

Ho:

f(x)=\begin{cases}x^{3}\ln(x)\mbox{ per }x>0\\ \arctan(x)\mbox{ per }x\leq 0\end{cases}

Ho fatto tutto lo studio della funzione che risulta avere un limite destro che va a +infinito, un limite sinistro che va a -Pi Greco mezzi
e un minimo locale in corrispondenza di \frac{1}{\sqrt[e]{3}}.

Funzione negativa a sinistra di zero, negativa fra 0 e 1, positiva a destra di 1.

Adesso devo studiare

F(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt

La cosa che mi confonde è quell' 1 ! Una mia amica ho visto che si è limitata a sviluppare l'integrale soltanto dalla parte x>0 ... ma se la prof la volesse anche dall'altra? Mi risulta difficile calcolare anche il dominio !
 
 

Re: Studio di una funzione integrale con integranda definita a tratti #44401

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Yumina92, benvenuta su Youmath emt

Abbiamo la funzione definita a tratti:

f(x)= \begin{cases}x^3\ln(x)&\mbox{ se }x>0\\ \arctan(x)&\mbox{ se }x\le 0\end{cases}

Essa è continua in \mathbb{R} perché:

se x>0 la funzione è x^3\ln(x) ed è prodotto di funzioni continue pertanto è continua in (0, \infty)

se x\le 0 la funzione è \arctan(x) che è notoriamente una funzione continua.

L'unico punto in cui abbiamo dubbi è il punto di raccordo, cioè il punto in cui la funzione cambia la sua espressione analitica x_0=0

Per mostrare che è continua in 0 dobbiamo verificare che:

\lim_{x\to 0^-}f(x)= f(0)= \lim_{x\to 0^+}f(x)

Nel nostro caso:

f(0)=0

\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}x^3 \ln(x)=0

\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\arctan(x)=0

Poiché il limite destro e il limite sinistro in 0 coincidono tra loro e con f(0). Possiamo asserire che la funzione è continua in tutto l'asse reale.

Effettivamente hai un minimo relativo per x= \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}= \frac{1}{\sqrt[3]{e}}

Per x=0 hai un punto angoloso, perché il limite destro del rapporto incrementale centrato in zero vale 0 mentre quello sinistro vale 1.

Ora concentriamoci sulla funzione integrale:

F(x)= \int_{1}^{x} f(x)dx


Essa è una funzione continua in tutto l'asse reale perché la funzione integranda f è continua! La tua collega ha commesso un errore considerando solo x>0 :(

Hai dubbi fino a qui?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Studio di una funzione integrale con integranda definita a tratti #44482

avt
Yumina92
Punto
Nessun dubbio, fino a qui mi torna tutto!
Mi ero solo dimenticata di vedere se c'era un punto angoloso emt

Re: Studio di una funzione integrale con integranda definita a tratti #44487

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, allora studiamo la monotonia della funzione e per farlo studiamo il segno della derivata prima della funzione

F(x)= \int_{1}^{x} f(t)dt

Grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che:

F'(x)=f(x)=\begin{cases}x^3\ln(x)&\mbox{ se } x>0\\ \arctan(x)&\mbox{ se }x\le 0\end{cases}

F'(x)>0\iff f(x)>0\iff

\begin{cases}x>0\\ x^3\ln(x)>0\end{cases}\cup \begin{cases}x<0\\ \arctan(x)>0\end{cases}

Il secondo sistema non ha soluzioni, mentre il primo sistema ha per soluzione x>1

Quindi la funzione integrale è crescente se x>1, è decrescente per x<1, mentre x=1 è un punto di minimo assoluto, il minimo assoluto coincide con:

F(1)= \int_{1}^{1}f(t)dt= 0

(abbiamo utilizzato una proprietà degli integrali)

Poiché F(1)=0 è il minimo assoluto allora per definizione di minimo assoluto si ha che:

F(x)\ge F(1)=0\quad \forall x\in\mathbb{R}

La funzione è quindi non negativa (sta sopra l'asse X)

Per la concavità e convessità calcoliamo la derivata seconda:

F''(x)= f'(x)=\begin{cases}x^2(1+3\ln(x))&\mbox{ se }x>0\\ \frac{1}{1+x^2}&\mbox{ se }x<0\end{cases}

La derivata seconda in zero non è definita.

Dallo studio del segno della derivata seconda si ha che:

Se x<0\vee x>\frac{1}{\sqrt[3]{e}} la derivata seconda F''(x) è positiva quindi la funzione F(x) è convessa

Se  0<x<\frac{1}{\sqrt[3]{e}} la derivata seconda è negativa quindi la funzione F è concava.

In definitiva abbiamo che la funzione F(x) presenta due punti di flesso,

x=0 e x= \frac{1}{\sqrt[3]{e}}

Il grafico della funzione è:


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Ringraziano: Omega, Pi Greco, Yumina92, CarFaby

Re: Studio di una funzione integrale con integranda definita a tratti #44503

avt
Yumina92
Punto
E i limiti orizzontali della funzione? Cioè ovvio che non ci sono per tutto va a infinito, però la mia prof chiede comunque di calcolarli e io ho sempre un po' di problemi con convergenza e divergenza di integrali nonostante abbia letto mille spiegazioni qui sopra.
Oppure posso dire di regola, che se in f(x) l'asintoto orizzontale va a +inf , lo farà anche in F(x)? Che se va a y=3 , anche F(x) tenderà a y=3?

Altra domanda.
Ho visto che nel mio corso viene raggirato lo studio della derivata seconda , che può essere spesso complicata, guardando l'andamento di f(x) secondo questa regola.

Se f(x) è positiva in un intervallo definito (del tipo -3<x<1 ), F(x) è crescente in quell'intervallo
Se f(x) è negativa in un intervallo definito, F(x) è decrescente in quell'intervallo
Se f(x) è crescente in un intervallo (ma del tipo -2<x<a dove a è la x del punto di massimo/minimo) , F(x) è convessa
Se f(x) è decrescente, F(x) è concava.

E' giusto anche questo procedimento?
Comunque grazie mille per la spiegazione perfetta, penso che posterò un altro paio di studi di funzione che mi confondono un po' emt

Re: Studio di una funzione integrale con integranda definita a tratti #44526

avt
Ifrit
Amministratore
Sì, i ragionamenti che fai, vanno bene. Tra l'altro se hai fatto bene lo studio della funzione f(x) allora lo studio di F è praticamente fatto emt


Per gli asintoti, sì, non l'ho studiati.

\lim_{x\to -\infty}F(x)=\int_{1}^{-\infty}f(t)dt=

\overbrace{\int_{1}^{0}x^3\ln(x)dx}^{\mbox{converge}}+\overbrace{\int_{0}^{-\infty} \arctan(x)dx}^{=\infty}= +\infty

Vi è la possibilità che ci sia un asintoto obliquo sinistro:

m= \lim_{x\to -\infty}\frac{F(x)}{x}= \left[\frac{-\infty}{\infty}\right]

Abbiamo una forma indeterminata, che possiamo risolvere con il teorema di De l'Hopital

m= \lim_{x\to -\infty}\frac{F(x)}{x}=^{H} \lim_{x\to -\infty}\arctan(x)= -\frac{\pi}{2}

q= \lim_{x\to -\infty}F(x)+\frac{\pi}{2}x che se non sbaglio non converge, non abbiamo asintoti obliqui sinistri procedi allo stesso modo per l'altro caso
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Studio di una funzione integrale con integranda definita a tratti #44654

avt
Yumina92
Punto
Perfetto sei stato chiarissimo, grazie mille emt !!
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