Correzione sullo studio di funzione di x^x

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Correzione sullo studio di funzione di x^x #44222

avt
Elshaa
Cerchio
Giorno a tutti emt Vorrei sapere se i miei risultati per lo studio di una particolare funzione, y=x^{x}, sono corretti.

L'ho studiata già per conto mio e vorrei solo ottenere conferma dei risultati ottenuti perché incerto.

Innanzitutto ho riscritto la funzione come y=e^{x\ln{x}}. Tenendo presente che la funzione è definita solo per x>0,ho considerato per i limiti rispettivamente +\infty e 0^{+}. I risultati che ho ottenuto sono questi:

Asintoto verticale: nessuno

Asintoto orizzontale: nessuno

L'asintoto obliquo non sono riuscito a calcolarlo.

Intersezione con gli assi: nessuna

Positività: sempre positiva.

Mi rimane qualche dubbio solo sugli asintoti e il relativo grafico della funzione; potreste chiarirmeli? emt
 
 

Re: Correzione sullo studio di funzione di x^x #44234

avt
Omega
Amministratore
Ciao Elshaa emt

Si può valutare la correttezza di uno studio di funzione semplicemente dando un rapido sguardo al grafico

grafico della funzione xx


Tieni conto del fatto che su YM è presente un tool per tracciare il grafico di una qualsiasi funzione online. emt

Per quanto riguarda i tuoi dubbi residui:

- la funzione non presenta alcun asintoto orizzontale perché \lim_{x\to +\infty}{e^{x\ln{(x)}}}=+\infty.

- E' presente un asintoto obliquo? Se calcoliamo

m=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{x\ln{(x)}}}{x}=+\infty

vediamo subito che la risposta è no. (Il precedente limite si calcola velocemente per confronto tra infiniti, oppure riscrivendo x=e^{ln{(x)}} a denominatore).

Unica osservazione rilevante: la funzione f(x)=x^x può essere prolungata con continuità da destra in x=0, questo perché essa non è definita in x=0 ma tende ad un valore finito (1) per x\to 0^{+}.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Elshaa

Re: Correzione sullo studio di funzione di x^x #44325

avt
Elshaa
Cerchio
Scusami Omega, non ho capito la tua osservazione sul punto 1..potresti rispiegarmela? In poche parole è come se avessi fatto un'intersezione con l'asse y, ma questo non si può perché x=0 è escluso dal dominio. Vorrei capire il ragionamento che mi porta a considerare universalmente (anche per altre eventuali funzioni del genere) questo andamento. emt
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Os