Curve asintotiche ad una funzione

Ciao a tutti ragazzi, vorrei un aiuto con le curve asintotiche, di preciso non so come le dovrei riconoscere durante lo studio di una funzione, né tanto meno come studiarle.

Ho cercato nella sezione delle "Lezioni di Matematica" ma non ho trovato nulla, e non sono riuscita a aprire una discussione in D&R.

Mi auguro sia postata nella giusta categoria del forum grazie in anticipo per la disponibilità!

Ciao Irene21

Non sentivo parlare di curve asintotiche da mezzo secolo, sono contento che tu abbia posto questa domanda.

Partiamo dalla definizione, poi un paio di considerazioni...

Definizione di curva asintotica al grafico di una funzione:

Sia una funzione definita nell'intorno di , e supponiamo che si possa scrivere nella forma



con per . Allora diciamo che è una curva asintotica a per . (Per ) vale un discorso del tutto analogo.

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In parole povere: una curva asintotica al grafico di una funzione è una curva che approssima il grafico della funzione al tendere di . Sono arcinoti i casi in cui tali curve siano rette, e dunque asintoti orizzontali o asintoti obliqui.

In tutti gli altri casi si tratta sostanzialmente di individuare la componente (se c'è) che va a zero al tendere di , ossia la della definizione precedente. La restante componente della funzione individua la curva asintotica. Si tratta cioè di determinare se è presente un termine infinitesimo al tendere di o , e di considerare la rimanente parte della funzione.

E come si fa? A volte riconoscere è immediato, come nel caso di



Altre volte invece ci vuole un po' d'occhio e qualche conticino algebrico, come ad esempio per



Occhio inoltre al fatto che una funzione può avere più curve asintotiche!

okok tutto chiarissimo!
Un'altra domandina, nei miei appunti ho qualcosa del tipo:
"La parabola asintotica esiste quando la differenza tra numeratore e denominatore è pari a 2."
A distanza di mesi non capisco più il senso di quest'affermazione e mi chiedo se ci sia un senso in realtà
Mi sapresti aiutare?
Grazie ancora

Ci proviamo.

Detta così non ha senso, ma capita di prendere appunti alla rinfusa...se mi avessero dato 50 centesimi per ogni boiata che ho scritto sui miei quaderni, all'università...in questo momento starei scrivendo dalle Bahamas!

L'unica interpretazione che mi sento di dare alla frase è la seguente:

"Nel caso di funzioni razionali (rapporto di polinomi), la parabola asintotica esiste quando la differenza di grado tra numeratore e denominatore è pari a 2".

Provare per credere:

con . In tal caso puoi sempre riscrivere la frazione come somma di un polinomio quadratico e di un'altra frazione in cui il denominatore ha grado minore di quello del denominatore (che è sempre ), ad esempio



effettuando la divisione tra polinomi puoi riscrivere come



Nota che il secondo addendo, dato che il grado del numeratore è sempre minore del grado del denominatore, dà luogo ad uno zero al tendere di . Basta ragionare per confronto tra infiniti.

Dire che sei stato chiaro è un'offesa alla tua spiegazione
Davvero grazie mille! mi sei stato di grandissimo aiuto!
e ho pure rivisto la divisione tra polinomi che l'avevo rimossa già da un po'! ahah
grazie mille

Di niente, figurati!