Rettangolo di diagonale minima con perimetro fissato

Salve amici! La prof di matematica ci ha assegnato degli esercizi dicendoci di impostarli come un problema sui massimi e sui minimi, non aggiungendo nient'altro...

Qualcuno mi dà una mano?

Problema: fra tutti i rettangoli di dato perimetro 2p individua quello con la diagonale minima.

Soluzione: quadrato di lato p/2.

Ciao Emi, l'esercizio è interessante!

Per prima cosa sappiamo che il perimetro di un rettangolo è dato da:



dove indico con rispettivamente la base e l'altezza. Possiamo determinare l'altezza in funzione del perimetro (che è fissato, quindi costante) e la variabile x:



dove p è il semiperimetro.

Grazie al teorema di Pitagora possiamo scrivere che la diagonale è data da:



ma , sostituiamo:



Abbiamo espresso la diagonale in funzione di x (la base del rettangolo)

a questo punto possiamo calcolare la derivata:



e procediamo con il metodo per studiare massimi e minimi. Imponiamo che sia uguale a zero così da determinare i punti che annullano la derivata prima e quindi i candidati punti di massimo e di minimo:





Questo punto si candida come punto di massimo o di minimo.

Studiamo il segno della derivata prima, che dipende esclusivamente dal numeratore:



Quindi la funzione è crescente se mentre è decrescente se .

Di conseguenza è punto di minimo.

Dalla uguaglianza:



Quindi il rettangolo è in realtà un quadrato di lato

Grazie Ifrit!

L'esercizio è interessante ed è anche semplice quando qualcuno lo spiega bene...