Rettangolo di diagonale minima con perimetro fissato

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Rettangolo di diagonale minima con perimetro fissato #43978

avt
Emi
Cerchio
Salve amici! La prof di matematica ci ha assegnato degli esercizi dicendoci di impostarli come un problema sui massimi e sui minimi, non aggiungendo nient'altro...

Qualcuno mi dà una mano?

Problema: fra tutti i rettangoli di dato perimetro 2p individua quello con la diagonale minima.

Soluzione: quadrato di lato p/2.
 
 

Re: Rettangolo di diagonale minima con perimetro fissato #43988

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Emi, l'esercizio è interessante!

Per prima cosa sappiamo che il perimetro di un rettangolo è dato da:

2p = 2x+2 y

dove indico con x, y rispettivamente la base e l'altezza. Possiamo determinare l'altezza in funzione del perimetro (che è fissato, quindi costante) e la variabile x:

y = (2(p-x))/(2) = p-x

dove p è il semiperimetro.

Grazie al teorema di Pitagora possiamo scrivere che la diagonale è data da:

d = √(x^2+y^2)

ma y = x+p, sostituiamo:

d(x) = √(x^2+(p-x)^2) = √(p^2-2px+2x^2)

Abbiamo espresso la diagonale in funzione di x (la base del rettangolo)

a questo punto possiamo calcolare la derivata:

d'(x) = (4x-2p)/(2√(p^2-2p x+2x^2))

e procediamo con il metodo per studiare massimi e minimi. Imponiamo che sia uguale a zero così da determinare i punti che annullano la derivata prima e quindi i candidati punti di massimo e di minimo:

d'(x) = 0 ⇔ (4x-2p)/(2√(p^2-2p x+2x^2)) = 0 ⇔

4x-2p = 0 ⇔ x = (p)/(2)

Questo punto si candida come punto di massimo o di minimo.

Studiamo il segno della derivata prima, che dipende esclusivamente dal numeratore:

4x-2p > 0 ⇔ x > (p)/(2)

Quindi la funzione è crescente se x > (p)/(2) mentre è decrescente se x < (p)/(2).

Di conseguenza x = (p)/(2) è punto di minimo.

Dalla uguaglianza:

y = p-x ⇒ y = p-(p)/(2) = (p)/(2)

Quindi il rettangolo è in realtà un quadrato di lato

x = (p)/(2)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Emi

Re: Rettangolo di diagonale minima con perimetro fissato #43999

avt
Emi
Cerchio
Grazie Ifrit!

L'esercizio è interessante ed è anche semplice quando qualcuno lo spiega bene...emt
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Os