Dubbio sugli asintoti della funzione e^(-1/x) #43829

avt
Elshaa
Cerchio
Sera a tutti,

ho riscontrato qualche problemino nel calcolo degli asintoti di questa funzione

y = e^(-(1)/(x))

La funzione è definita in

D : ∀ x∈ R-0

Lo 0 potrebbe essere asintoto verticale. Verificando se è tale, ho distinto il limite destro e sinistro; per il primo il limite è 0 (valore finito), per il secondo il limite è +∞. Arrivato a questo punto mi chiedo: l'asintoto verticale è solo x = 0^(-)?

Asintoto orizzontale: y = 1.

Intersezione della f(x) con asse x:

log_(e)(e^(-(1)/(x))) = log_(e)(1)

passando agli argomenti e svolgendo i calcoli ho ottenuto l'intersezione (-1;0).

L'intersezione con l'asse y non sono riuscito a calcolarla.

Risolti questi dubbi penso che riuscirei a riportare tutto nel piano.
 
 

Re: Dubbio sugli asintoti della funzione e^(-1/x) #43849

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo la funzione

f(x) = e^(-(1)/(x))

il cui dominio della funzione si determina mediante la condizione

x ne0

Tale relazione scaturisce dall'impossibilità del denominatore presente all'esponente di essere 0. Ricordiamo, infatti, che non si può dividere per 0.

Dom(f) = R-0 = (-∞, 0) U (0,+∞)

Dobbiamo ora controllare come si comporta la funzione in prossimità di 0 e per farlo, studiamo i limiti destro e sinistro della funzione

lim_(x → 0^(-))f(x) ; lim_(x → 0^(+))f(x)

Impostiamo il primo limite il cui risultato è +∞ in virtù dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

lim_(x → 0^(-))e^(-(1)/(x)) = [e^(+∞)] = +∞

Il limite destro è 0, in accordo con il comportamento della funzione esponenziale nell'intorno di -∞

lim_(x → 0^(+))e^(-(1)/(x)) = [e^(-∞)] = 0

L'infinitezza del limite sinistro è sufficiente a garantire la presenza di un asintoto verticale sinistro di equazione x = 0.

Intersezioni con gli assi

Intersezione con l'asse x: dobbiamo risolvere l'equazione

f(x) = 0 ⇔ e^(-(1)/(x)) = 0

ma attenzione l'equazione non è mai soddisfatta perché la funzione esponenziale è positiva quindi non può essere mai zero, dunque non vi sono intersezioni con l'asse delle ascisse.

Asse delle ordinate

Basterebbe valutare la funzione f(x) per x = 0, ma il punto x = 0 ∉ Dom(f) quindi non abbiamo intersezioni con l'asse y.
Ringraziano: Omega, Elshaa, Galois

Re: Dubbio sugli asintoti della funzione e^(-1/x) #43914

avt
Elshaa
Cerchio
Grazie mille, con il grafico mi trovo, ma oggi, correggendo l'esercizio in classe, la nostra professoressa ci ha fatto notare che potrebbero esserci anche altri andamenti della funzione (ad esempio a sinistra dell'asse y potrebbe scendere ulteriormente fino a -1 per poi risalire;

idem a sinistra del grafico dove potrebbe intersecare l'asintoto y = 1, salire al di sopra di esso,per poi riscendere andando a +∞. Alla pronuncia della parola intersezione con gli asintoti (secondo quanto detto da lei una funzione potrebbe intersecare solo asintoti obliqui o verticali) mi è nato qualche dubbio.Potresti spiegarmi meglio cosa significa intersezione con gli asintoti?

Re: Dubbio sugli asintoti della funzione e^(-1/x) #43917

avt
Ifrit
Amministratore
È solo una costatazione teorica, molto spesso gli studenti pensano che l'asintoto orizzontale (o asintoto obliquo) per una funzione sia una retta che non la interseca mai, intuitivamente questo è fuorviante, perché una funzione può intersecare un asintoto infinite volte.

Prendi ad esempio la funzione

f(x) = (sin(x))/(x)

è chiaro che

lim_(x → +∞)(sin(x))/(x) = 0

di conseguenza la retta orizzontale y = 0 è un asintoto della funzione, ma la funzione lo interseca infinite volte come si evince dal grafico

sin_x_fratto_x_ifrit
Ringraziano: Pi Greco, Elshaa, Galois

Re: Dubbio sugli asintoti della funzione e^(-1/x) #43923

avt
Elshaa
Cerchio
Perfetto, ultima domanda: perché invece una qualsiasi funzione non può mai intersecare solo gli asintoti verticali?

Re: Dubbio sugli asintoti della funzione e^(-1/x) #43935

avt
Ifrit
Amministratore
Tendenzialmente l'asintoto verticale si ha quando la funzione non è definita in un punto, cioè quando il punto non appartiene al suo dominio. Ecco perché la funzione non tocca l'asintoto verticale.

(Il "tendenzialmente" è dovuto a situazioni patologiche, che non vengono trattate alle superiori, o forse sì?)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Elshaa
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Os