Calcolo di un limite esponenziale con la tangente

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Calcolo di un limite esponenziale con la tangente #43821

avt
JohnnyR
Cerchio
Buonasera a tutti potreste aiutarmi a risolvere questo limite esponenziale con tangente?

\lim_{x\to \left(\frac{\pi}{4}\right)^{+}}[\tan{(x)}-1]^{\tan{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}}

Cortesemente vi pregherei di spiegarmelo e soprattutto di non usare per la risoluzione la formula di de l'hopital visto che ancora non l'ho studiata!
Grazie!
 
 

Re: Calcolo di un limite esponenziale con la tangente #43834

avt
Omega
Amministratore
Ciao JhonnyR,

il limite

\lim_{x\to \left(\frac{\pi}{4}\right)^{+}}[\tan{(x)}-1]^{\tan{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}}=(\bullet)

non genera alcuna forma di indecisione e dunque non ha senso utilizzare il teorema di de l'Hopital. Piuttosto dai un'occhiata alla tabella dei metodi di risoluzione per le forme indeterminate.

Usiamo l'identità logaritmo-esponenziale y=e^{\ln{(y)}} e successivamente una nota proprietà dei logaritmi, così che il limite diventi

(\bullet)=\lim_{x\to\left(\frac{\pi}{4}\right)^{+}}e^{\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ln[\tan{(x)}-1]}=

A questo punto possiamo concludere il calcolo del limite grazie alle regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

I due fattori dell'esponente tendono infatti rispettivamente a -\infty e a -\infty, quindi nel contesto della suddetta Algebra otteniamo

=e^{-\infty\cdot(-\infty)}=e^{+\infty}=+\infty

Possiamo considerare concluso l'esercizio.
Ringraziano: Pi Greco, JohnnyR

Re: Calcolo di un limite esponenziale con la tangente #44434

avt
JohnnyR
Cerchio
Grazie infinite, gentilissimo come sempre!
Ringraziano: Omega
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Os