Grafico probabile di una funzione logaritmica senza studiare le derivate

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Grafico probabile di una funzione logaritmica senza studiare le derivate #43758

avt
irene21
Cerchio
Ciao a tutti ragazzi! Vorrei un aiutino con il grafico probabile di una funzione logaritmica che devo determinare senza lo studio della derivata!

Momentaneamente il mio prof mi sta facendo studiare i grafici probabili, quindi senza l'uso di derivate... Solo che con le funzioni trigonometriche e logaritmiche ho qualche difficoltà, anche con le più banali. T_T

Vi posto il testo sperando possiate aiutarmi! Grazie anticipatamente emt

f(x)=\frac{\log_{2}{(x)}+1}{\log_{2}{(x)}}

Propongo le mie soluzioni, è possibile che la funzione, studiandone l'intervallo di positività e definendo il dominio, si sviluppi solo nel I quadrante e al di sotto di Y=1 dove mi risulta un asintoto orizzontale?

Vi ringrazio per aver riaperto il forum! Speriamo vivamente che non si ripetano in futuro gli stessi problemi. emt
In secondo luogo TANTI AUGURIIIII di buon anno anche se un po' tardino emt

Grazie mille ancora, sperando che il testo sia stato scritto correttamente! A presto!
 
 

Re: Grafico probabile di una funzione logaritmica senza studiare le derivate #43795

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Irene 21 emt

Lo studio delle derivate in uno studio studio di funzione aiuta ad essere più precisi e agevola lo studio di funzioni complicate, ma non è indispensabile per tracciarne un grafico probabile e/o approssimativo.

Studiamola insieme.

DOMINIO

\left\{\begin{matrix}x>0 \\ log_{2}(x)\neq0 \end{matrix}

Dove, la prima imposizione è dovuta al fatto che x, essendo argomento del logaritmo deve essere positiva e la seconda che il denominatore di una funzione fratta deve essere diverso da 0.

Da cui hai:

\left\{\begin{matrix}x>0 \\ x\neq1 \end{matrix}

Ovvero il dominio è:

(0,1) \cup (1,+\infty)

Qui puoi ripassare il metodo di risoluzione delle disequazioni logaritmiche emt

STUDIO DEL SEGNO

f(x) \geq 0

Essendo una fratta si ha:

log_{2}(x) + 1 \geq0

da cui:

log_{2}(x) + log_{2}2 \geq log_{2}1

e quindi

2x\geq1, ovvero x\geq\frac{1}{2}

e

log_{2}(x)>0

da cui:

x>1

mettendo insieme i risultati hai:

Pubblicazione1


ovvero la tua funzione è positiva in

\left(0,\frac{1}{2}\right) \cup (1,+\infty)

e negativa in

\left(\frac{1}{2}, 1\right)

INTERSEZIONE CON GLI ASSI

Poiché x=0 è escluso dal dominio la funzione non ha intersezioni con l'asse y.

Mettendo invece a sistema:

\left\{\begin{matrix}y=0 \\ f(x)=0 \end{matrix}

ottieni il punto: (\frac{1}{2},0)

ASINTOTI (non so se devi farli)

\lim_{x\to1^{+}}{f(x)}=+\infty

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=1

Ovviamente, poiché la funzione assume solo valori positivi non si calcola il limite per x che tende a -\infty

Dai risultati ottenuti hai:

y=1 asintoto orizzontale

e

x=1 asintoto verticale

Sei quindi pronta a tracciare un grafico approssimativo. Dovrebbe venirti una cosa del genere:

grafico funzione fratta con log in base 2


Spero di essere stato chiaro! Se hai dubbi chiedi pure. emt
Ringraziano: Ifrit, irene21

Re: Grafico probabile di una funzione logaritmica senza studiare le derivate #43837

avt
irene21
Cerchio
Sì tutto chiarissimo! Solo un piccolo dubbio: perché nello studio del segno

\log_2(x)+\log_2(2)>log_2(1)

si risolve come 2x>1 ? non dovrebbe essere x+2>1 ?

Cioè non dovremmo eliminare i logaritmi dato che hanno tutti la stessa base? Perdonami se dico una sciocchezza emt per tutto il resto sei stato chiarissimo!

Grazie mille davvero emt

Re: Grafico probabile di una funzione logaritmica senza studiare le derivate #43841

avt
Galois
Coamministratore
I logaritmi si eliminano o per essere più corretti si passa all'esponenziale, quando hai un'equazione o disequazione del tipo:

log_{a}x = log_{a}b

che diventa, dopo aver posto le solite condizioni di esistenza:

x= b

Nel tuo caso prima di "eliminare" i logaritmi devi applicare la proprietà dei logaritmi:

log_{a}b + log_{a}c = log_{a}(b\cdot c)

ovvero nel tuo caso:

log_{2}(x)+log_{2}(2)=log_{2}(2x)

da cui:

log_{2}(2x)=log_{2}(1)

e quindi

x=\frac{1}{2}

Per ulteriori chiarimenti ti invito a leggere la guida sulle equazioni logaritmiche. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, irene21

Re: Grafico probabile di una funzione logaritmica senza studiare le derivate #44181

avt
irene21
Cerchio
emt sono imbarazzata per la sciocchezza che ho detto emt
grazie mille e perdonami se scrivo solo adesso, colpa del mio pc che non funziona come dovrebbe emt
grazie mille ancora per la gentilezza emt
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Os