Studiare gli asintoti di una funzione fratta

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Studiare gli asintoti di una funzione fratta #43702

avt
Elshaa
Cerchio
Il nuovo argomento che sto affrontando a scuola riguarda gli asintoti e, consultando anche le vostre dispense teoriche , almeno finora non ho avuto problema nella parte "risolutiva", relativa cioè al calcolo dei vari limiti...

Alcuni dubbi mi rimangono per quanto riguarda il disegno nel piano della funzione con i relativi asintoti:la funzione in questione di cui devo calcolare gli asintoti è:

y=\frac{x-3}{x^2-1}

Asintoti verticali: ve ne sono 2 di equazione x=+1 e x=-1.

Asintoto orizzontale: di equazione y=0.

Essendoci l'asintoto orizzontale, deduco che non esiste l'asintoto obliquo, quindi evito il calcolo.

Ho costruito il grafico trovando anche le intersezioni della f(x) con gli assi.

Non so riportarvi il grafico, per cui vi descriverò l'andamento: la funzione l'ho disegnata compresa tra i due asintoti verticali, aperta verso l'alto, che interseca l'asse delle y nel punto (0,3). Ho tracciato l'altra curva che interseca l'asse x nel punto (3,0) ma non riesco a capire l'andamento.

Potreste darmi chiarimenti circa il riporto nel piano?
Grazie mille in anticipo!
 
 

Studiare gli asintoti di una funzione fratta #43710

avt
Omega
Amministratore
Ciao Elshaa emt

Onde evitare fraintendimenti, riporto il grafico della funzione che pui comunque ricavare velocemente con il tool del link

grafico di funzione per controllo asintoti


Da qui si deduce molto velocemente che le tue considerazioni in merito agli asintoti sono corrette - lascio a te il compito di controllare se le rimanenti informazioni qualitative coincidono con quelle che hai determinato.

A chi interessasse capire, o approfondire:

- asintoti orizzontali;

- asintoti verticali;

- asintoti obliqui.

Un suggerimento: quando parli di asintoto orizzontale, specifica il segno dell'infinito altrimenti la tua soluzione potrebbe essere contestabile. emt Nel nostro caso la funzione presenta y=0 come asintoto orizzontale sia per x\to +\infty che per x\to -\infty.
Ringraziano: Elshaa

Studiare gli asintoti di una funzione fratta #43712

avt
Elshaa
Cerchio
Grazie mille Omega!..mi permangono piccoli dubbi:
1)se ho ben capito dovrei specificare il segno dell'infinito anche nel caso di un asintoto verticale,distinguendo lim destro e sinistro dei punti esaminati (ad esempio in questa funzione ho capito l'andamento della curva proprio andando a "vedere" cosa accade nell'intorno destro e sinistro dei suddetti punti).A tal proposito,alla "destra" del grafico,la funzione,intersecando l'asse x nel punto 3,va al di sopra dell'asse giusto?

2)nel caso mi capitasse come Dominio di una funzione \forall x\in R  ..come faccio a trovare eventuali punti per un asintoto verticale?..in questo caso non esisterebbe?..in altre parole,c'è qualche altro modo oltre il dominio per ricavare punti in cui la f(x) non esiste?

Studiare gli asintoti di una funzione fratta #43716

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Elshaa emt

Se ha dubdi sull'andamento della funzione basta calcolare bene i limiti.

Una volta trovato il Dominio, che è:

R-{-1,+1}

ovvero scritto sotto forma di intervalli:

]-\infty, -1[ \cup ]-1,1[ \cup ]1,+\infty[

andiamo determinare gli asintoti:

ASINTOTI VERTICALI:

\lim_{x\to 1^{+}}{f(x)} = -\infty

\lim_{x\to 1^{-}}{f(x)} = +\infty

\lim_{x\to -1^{+}}{f(x)} = +\infty

\lim_{x\to -1^{-}}{f(x)} = -\infty

Quindi abbiamo:

x=1 e x=-1asintoti verticali che la funzione segue sia da destra che da sinistra.

ASINTOTI ORIZZONTALI

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=0

\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=0

Quindi y=0 è un asintoto orizzontale.

Come hai trovato bene tu, le intersezioni con gli assi sono:

(0,3) e (3,0)

Per uno studio più approfondito ti invito a studiare(se lo hai fatto) massimi, minimi, concavità e convessità, ma in ogni caso le informazioni fino ad ora trovate bastano per tracciare un grafico qualitativo, che è il seguente:


[attachment=2451]grafico_2013-01-10.png[/attachment]


Spero di esserti stato d'aiuto!

emt
Allegati:
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Elshaa

Studiare gli asintoti di una funzione fratta #43719

avt
Ifrit
Ambasciatore
I calcoli che riporti sono corretti, eviterei di dire che la funzione è aperta verso l'alto, probabilmente vorrai dire che la funzione è convessa (concavità verso l'alto)

Per quanto riguarda l'andamento della funzione dovremmo studiare il segno della derivata prima per determinare i massimi e i minimi

La derivata prima è :

f'(x)= -\frac{x^2-6 x+1}{(1+x)^2 (x-1)^2}

Il segno della derivata prima dipende esclusivamente dal fattore:

-(x^2-6x+1)

giacché gli altri fattori sono positivi.

Studiamo quindi il segno:

-(x^2-6 x+1)>0\iff x^2-6x+1<0

abbiamo una disequazione di secondo grado ed è soddisfatta se

3-\sqrt{2}<x<1\vee 1<x<3+2\sqrt{2}

In questo insieme la derivata prima è positiva, dunque la funzione è crescente in (3-\sqrt{2}, 1) e in (1,3+2\sqrt{2})

La derivata prima è negativa in (-\infty, -1) e (-1, 3-2\sqrt{2}) e (3+2\sqrt{2}, +\infty)

(Ho escluso i punto -1, 1 perché non stanno nel dominio della funzione)

In questo caso la funzione è decrescente.

Il grafico della funzione è:

funzione_fratta_ifrit
Ringraziano: Omega, Elshaa

Studiare gli asintoti di una funzione fratta #43720

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ops scusatemi, sono rimasto imbambolato nella fase di risposta e non ho notato le vostre xD
Ringraziano: Omega

Studiare gli asintoti di una funzione fratta #43721

avt
Omega
Amministratore
Elshaa ha scritto:
Grazie mille Omega!..mi permangono piccoli dubbi:
1)se ho ben capito dovrei specificare il segno dell'infinito anche nel caso di un asintoto verticale


Quello va certamente fatto, ma mi riferivo agli asintoti orizzontali.

2)nel caso mi capitasse come Dominio di una funzione \forall x\in R  ..come faccio a trovare eventuali punti per un asintoto verticale?


Non possono essercene: gli asintoti verticali si presentano in corrispondenza dei punti di discontinuità di seconda specie. emt
Ringraziano: Pi Greco, Elshaa

Studiare gli asintoti di una funzione fratta #43734

avt
Elshaa
Cerchio
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