Limite fratto con esponenziale a denominatore

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Limite fratto con esponenziale a denominatore #4325

avt
toccithebest
Cerchio
Buongiorno, mi aiutate con il limite di una funzione fratta? Il libro suggerisce di usare il limite notevole dell'esponenziale ma non ho idea di come fare

\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{e^x-e}

Grazie!
 
 

Limite fratto con esponenziale a denominatore #4326

avt
frank094
Maestro
Per calcolare il limite

\lim_{x\to 1}\displaystyle\frac{x-1}{e^{x}-e}=(\bullet)

è richiesta la conoscenza del limite notevole della funzione esponenziale:

\lim_{f(x) \to 0} \frac{e^{f(x)} - 1}{f(x)} = 1

Dobbiamo trovare un modo per ricondurci a tale limite. Il primo passaggio da fare è portare l'esponenziale al numeratore e il polinomio al denominatore e questo è possibile scrivendo la funzione come

(\bullet) =\lim_{x \to 1} \frac{1}{\displaystyle\frac{e^x - e}{x - 1}}=

Raccogliamo e al denominatore principale e portiamolo fuori dal limite in quanto fattore costante

\\ =\lim_{x \to 1} \frac{1}{\displaystyle\frac{e(e^{x - 1} - 1)}{x - 1}}= \\ \\ \\ =\frac{1}{e}\lim_{x\to 1}\frac{1}{\displaystyle\frac{e^{x-1}-1}{x-1}}=

Al fine di ricondurci al limite notevole poniamo f(x)=x-1 ed osserviamo che quando x\to 1 la funzione f(x)\to 0, di conseguenza il limite si esprime nella forma:

=\frac{1}{e} \cdot \lim_{f(x) \to 0} \frac{1}{ \displaystyle\frac{e^{f(x)} - 1}{f(x)} } = \frac{1}{e} \cdot 1 = \frac{1}{e}

Abbiamo portato a termine il nostro compito.
Ringraziano: Omega, CarFaby

Limite fratto con esponenziale a denominatore #4329

avt
toccithebest
Cerchio
Nel primo passaggio, dove hai moltiplicato e diviso per x-1, come hai fatto? Quale relazione matematica hai utilizzato? Grazie mille.

Limite fratto con esponenziale a denominatore #4331

avt
frank094
Maestro
Nel primo passaggio ho semplicemente sfruttato un trucchetto algebrico per portare il numeratore al denominatore. In pratica ho usato la regola per le frazioni di frazioni al contrario.

\frac{2}{3} = 2 \cdot \frac{1}{3}

Se io adesso volessi portare il due a denominatore cosa dovrei fare? Semplice! Portare a denominatore il reciproco di tale numero così che quando viene rigirato per la divisione torna alla sua forma normale ossia:

\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} : \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \cdot 2

In pratica quello che ho fatto è stato portare al denominatore il reciproco del numeratore in modo da ricondurmi alla forma del limite notevole.

Per quanto riguarda il raccoglimento è come se io ti dicessi: dal polinomio

p(x) = 2x^2 + 2x

raccogliamo la x:

p(x) = x(2x + 2)

Nel nostro caso è uguale: andiamo a raccogliere la e al denominatore così da ottenere

\\ e(e^{x - 1} - 1) = e^{x - 1 + 1} - e = \\ \\ = e^{x} - e
Ringraziano: Omega, CarFaby

Limite fratto con esponenziale a denominatore #4334

avt
toccithebest
Cerchio
Grazie mille, sei stato gentilissimo.
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Os