Ordine di infinito di una funzione con logaritmo

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Ordine di infinito di una funzione con logaritmo #42860

avt
Dreams79
Cerchio
Ciao a tutti, avrei una domanda sull'ordine di infinito di un logaritmo. Ho già controllato in giro per il forum e non sono riuscito a trovare una risposta adatta al mio caso.
Vi illustro brevemente il problema.

Stabilire l'ordine del seguente infinito:

log(1+x^2) per x che tende all'infinito.

Ho provveduto a considerare l'infinito campione che nel mio caso è x^a e quindi devo risolvere il limite

lim (x->inf) (log(1+x^2)/x^a)

qui mi sono bloccato, praticamente nel risolvere questo limite.

Osservazione: da risolvere senza usare i limiti notevoli.

Vi ringrazio del vostro prezioso aiuto.
E colgo l'occasione per augurarvi BUONE FESTE.
 
 

Ordine di infinito di una funzione con logaritmo #42870

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dreams79 emt

In realtà ce ne sono diverse in merito, ad ogni modo...

Non tutti gli infiniti si riducono ad infiniti della forma x^a al tendere di x\to +\infty, con a>0. Dai un'occhiata alla lezione sugli ordini di infinito per rendertene conto.

Nel caso della funzione f(x)=\log{(1+x^2)} (e in esercizi con richieste analoghe) devi semplicemente determinare l'infinito campione, cioè la parte principale dell'infinito. Osserva che

1+x^2\sim_{x\to +\infty}x^2

infatti le costanti additive non hanno alcuna influenza sull'ordine di infinito. Dunque

\log{(1+x^2)}\sim_{x\to +\infty}\log{(x^2)}=2\log{(x)}

Fine: abbiamo appena determinato l'ordine di infinito della funzione data al tendere di x\to +\infty.

Come procedere in generale? Devi solo determinare una funzione g(x) tale per cui

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1

Buone feste anche a te! emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Dreams79

Ordine di infinito di una funzione con logaritmo #42898

avt
Dreams79
Cerchio
Grazie mille ^_^ farò tesoro di queste informazioni per altri esercizi analoghi.
Ringraziano: Omega
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Os