Limiti ricoducibili ai limiti notevoli

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Limiti ricoducibili ai limiti notevoli #4282

avt
bruskettina93
Punto
Ciao ragazzi, ho appena scoperto questo sito: meraviglioso! Sono qui per chiedervi aiuto con i limiti riconducibili ai limiti notevoli...

Devo risolvere questi tre limiti mediante l'utilizzo dei limiti notevoli:

\\ \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{2x^2+x+1}-2}\\ \\ \\ \lim_{x\to 0}\cot^2(x)\log(\cos^2(x)) \\ \\ \\ \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin(x)-\cos(x)}{\pi-4x}

Grazie mille!!!
 
 

Limiti ricoducibili ai limiti notevoli #4295

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo il primo limite ossia

\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{2x^2+x+1}-2}=

Mettiamo in evidenza 2 sia al numeratore che al denominatore

=\lim_{x\to 1}\frac{2\left(\frac{\sqrt{x+3}}{2}-1\right)}{2\left(\frac{\sqrt{2x^2+x+1}}{2}-1\right)}=

e semplifichiamolo così da ottenere il limite equivalente

=\lim_{x\to 1}\frac{\left(\frac{\sqrt{x+3}}{2}-1\right)}{\left(\frac{\sqrt{2x^2+x+1}}{2}-1\right)}=

Utilizziamo le proprietà dei radicali, di modo che il 2 al denominatore diventi parte integrante dell'argomento delle radici

=\lim_{x\to 1}\frac{\left(\sqrt{\frac{x+3}{4}}-1\right)}{\left(\sqrt{\frac{2x^2+x+1}{4}}-1\right)}=

Scriviamo 3= -1+4 al numeratore, 1=-3+4 al denominatore, così che ci possiamo ricondurre pian piano ad un limite notevole

=\lim_{x\to 1}\frac{\left(\sqrt{\frac{x-1+4}{4}}-1\right)}{\left(\sqrt{\frac{2x^2+x-3+4}{4}}-1\right)}=(\bullet)

Ora osserviamo che:

\frac{x-1+4}{4}= \frac{x-1}{4}+\frac{4}{4}= \frac{x-1}{4}+1

\frac{2x^2+x-3+4}{4} = \frac{2x^2+x-3}{4}+\frac{4}{4}=\frac{2x^2+x-3}{4}+1

Grazie a tali uguaglianze il limite diventa:

(\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{\left(\sqrt{\frac{x-1}{4}+1}-1\right)}{\left(\sqrt{\frac{2x^2+x-3}{4}+1}-1\right)}=(\bullet\bullet)

A questo punto utilizziamo il limite notevole generalizzato:

\lim_{x\to qualcosa}\frac{(1+f(x))^\alpha-1}{f(x)}= \alpha

dove f(x)\to 0 quando x\to qualcosa.

Per utilizzarlo abbiamo bisogno di costruirci i pezzi che ci mancano. Nel nostro caso

- al numeratore la funzione da prendere in considerazione è

f(x)= \frac{x-1}{4}

- al denominatore la funzione da prendere in esame è invece

f(x)= \frac{2x^2+x-3}{4}

Quando x\to 1 le due funzioni sono infinitesime, quindi rispettano le condizioni per utilizzare il limite notevole. Moltiplichiamo e dividiamo per

\frac{x-1}{4}

al numeratore, similmente moltiplichiamo e dividiamo per

\frac{2x^2+x-3}{4}

al denominatore. Così facendo otterremo il limite equivalente

(\bullet \bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{x-1}{4}\cdot\frac{\left(\sqrt{\frac{x-1}{4}+1}-1\right)}{\frac{x-1}{4}}}{\frac{2x^2+x-3}{4}\cdot\frac{\sqrt{\frac{2x^2+x-3}{4}+1}-1}{\frac{2x^2+x-3}{4}}}

Grazie al limite notevole sappiamo che

\\ \lim_{x\to 1}\frac{\left(\sqrt{\frac{x-1}{4}+1}-1\right)}{\frac{x-1}{4}}=\frac{1}{2} \\ \\ \mbox{e} \\ \\\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{\frac{2x^2+x-3}{4}+1}-1}{\frac{2x^2+x-3}{4}}=\frac{1}{2}

dunque

\\ \\ \lim_{x\to 1}\frac{\frac{x-1}{4}\cdot\frac{\left(\sqrt{\frac{x-1}{4}+1}-1\right)}{\frac{x-1}{4}}}{\frac{2x^2+x-3}{4}\cdot\frac{\sqrt{\frac{2x^2+x-3}{4}+1}-1}{\frac{2x^2+x-3}{4}}}= \\ \\ \\ =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\lim_{x\to 1}\frac{\frac{x-1}{4}}{\frac{2x^2+x-3}{4}}= \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{2x^2+x-3}=(\bullet\bullet\bullet)

Fattorizziamo il polinomio 2x^2+x-3 come segue

2x^2+x-3=(x-1)(3+2x)

e sostituendo giungeremo al risultato:

(\bullet\bullet\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(3+2x)}= \lim_{x\to 1}\frac{1}{3+2x}= \frac{1}{5}

Il primo è andato.
Ringraziano: Omega, frank094, bruskettina93

Limiti ricoducibili ai limiti notevoli #4310

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il limite

\lim_{x\to 0} (\cot^2{(x)})(\log{(\cos^2{(x)})})

che genera una forma indeterminata del tipo [\infty\cdot 0]. Riscriviamo il secondo fattore come

\log{(\cos^2{(x)})}=\log{(1+(\cos^{2}{(x)}-1))}

e possiamo passare per equivalenza asintotica, grazie al limite notevole del logaritmo, al tendere di x\to 0

\log{(1+(\cos^{2}{(x)}-1))}\sim \cos^2{(x)}-1

Poi possiamo scomporre la funzione nel prodotto di due fattori e passare per equivalenza asintotica, mediante il limite notevole del coseno, al tendere di x\to 0

\cos^2{(x)}-1=(1+\cos{(x)})(\cos{(x)}-1)\sim 2\cdot \left(-\frac{1}{2}x^2\right)=-x^2

(occhio che bisogna aggiungere un meno per far sì che il limite notevole del coseno "funzioni")

Per quanto riguarda la cotangente, osserviamo che

\cot^2{(x)}=\frac{\cos^2{(x)}}{\sin^2{(x)}}

e poi applicando il limite notevole del seno, passiamo per equivalenza asintotica a

\frac{\cos^2{(x)}}{\sin^2{(x)}}\sim \frac{\cos^{2}{(x)}}{x^2}

Mettendo tutto insieme

\lim_{x\to 0} (\cot^2{(x)})(\log{(\cos^2{(x)})})=\lim_{x\to 0}{\frac{\cos^{2}{(x)}}{x^2}(-x^2)}=-1


Metodo alternativo

Possiamo risolvere il limite senza tirare in ballo le stime asintotiche, facendo esclusivamente uso dei limiti notevoli.

\lim_{x\to 0} (\cot^2{(x)})(\log{(\cos^2{(x)})})=(\bullet)

Dalla relazione fondamentale della trigonometria possiamo scrivere il quadrato del coseno in funzione del quadrato del seno

\cos^2(x)=1-\sin^2(x)

così che il limite diventi

(\bullet)=\lim_{x\to 0}\cot^2(x)\log(1-\sin^2(x))=(\bullet\bullet)

Dalla definizione di cotangente si ha inoltre che

\cot^2(x)=\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}

dunque

\\ (\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\cdot\log(1-\sin^2(x))= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\cos^2(x)\cdot \frac{\log(1-\sin^2(x))}{\sin^2(x)}=

Osserviamo che il quadrato del coseno tende a 1 quando x tende a 0

=\lim_{x\to 0}1\cdot \frac{\log(1-\sin^2(x))}{\sin^2(x)}=(\bullet\bullet\bullet)

quello rimasto non è altro che il limite notevole del logaritmo a meno di un segno

\lim_{x\to qualcosa}\frac{\log(1+f(x))}{f(x)}=1

valido a patto che f(x) sia infinitesimo per x\to qualcosa. Nel caso in esame

f(x)=-\sin^2(x)

infatti quando x\to 0 evidentemente f(x)\to 0. Per poter applicare il limite necessario aggiustare il segno del denominatore

(\bullet\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0}-\frac{\log(1-\sin^2(x))}{-\sin^2(x)}=-1

Fatto!
Ringraziano: frank094, Ifrit, WizGhost

Limiti ricoducibili ai limiti notevoli #4384

avt
frank094
Maestro
Per risolvere il secondo limite

\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin(x)-\cos(x)}{\pi - 4x}=\bullet

opereremo una sostituzione che ci permetterà di ricondurci al limite notevole del seno

\lim_{x\to qualcosa}\frac{\sin(f(x))}{f(x)}=1

valido quando f(x)\to 0 per x\to qualcosa. Poniamo t=x-\frac{\pi}{4} così che essa tenda a 0 quando x\to \frac{\pi}{4}. Osserviamo che dalla sostituzione segue che

x=t+\frac{\pi}{4}

e dunque il limite di partenza si riscrive come

\\ \bullet=\lim_{t\to 0}\frac{\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)}{\pi - 4\left(t+\frac{\pi}{4}\right)}= \\ \\ \\ = \lim_{t\to 0}\frac{\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)}{-4t}=(\bullet)

Le formule di somma e differenza degli archi per funzioni goniometriche ci dicono che

\sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin(t)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(t)

mentre

\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(t)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(t)

Possiamo dunque riscrivere il limite nella forma equivalente

\\ (\bullet)=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \sin(t)+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos(t)-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(t)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(t)}{-4t}= \\ \\ \\ = \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{2}\sin(t)}{-4t}=

In accordo con l'algebra dei limiti possiamo trasportare fuori dal simbolo di limite le costanti moltiplicative e grazie al limite notevole del seno giungiamo al risultato

=\frac{\sqrt{2}}{-4}\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}=-\frac{\sqrt{2}}{4}

Il limite è risolto.
Ringraziano: Omega, bruskettina93
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Os