Limiti ricoducibili ai limiti notevoli #4282

avt
bruskettina93
Punto
Ciao ragazzi, ho appena scoperto questo sito: meraviglioso! Sono qui per chiedervi aiuto con i limiti riconducibili ai limiti notevoli...

Devo risolvere questi tre limiti mediante l'utilizzo dei limiti notevoli:

lim_(x → 1)(√(x+3)-2)/(√(2x^2+x+1)-2) ; lim_(x → 0)cot^2(x)log(cos^2(x)) ; lim_(x → (π)/(4))(sin(x)-cos(x))/(π-4x)

Grazie mille!!!
 
 

Limiti ricoducibili ai limiti notevoli #4295

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo il primo limite ossia

lim_(x → 1)(√(x+3)-2)/(√(2x^2+x+1)-2) =

Mettiamo in evidenza 2 sia al numeratore che al denominatore

= lim_(x → 1)(2((√(x+3))/(2)-1))/(2((√(2x^2+x+1))/(2)-1)) =

e semplifichiamolo così da ottenere il limite equivalente

= lim_(x → 1)(((√(x+3))/(2)-1))/(((√(2x^2+x+1))/(2)-1)) =

Utilizziamo le proprietà dei radicali, di modo che il 2 al denominatore diventi parte integrante dell'argomento delle radici

= lim_(x → 1)((√((x+3)/(4))-1))/((√((2x^2+x+1)/(4))-1)) =

Scriviamo 3 = -1+4 al numeratore, 1 = -3+4 al denominatore, così che ci possiamo ricondurre pian piano ad un limite notevole

= lim_(x → 1)((√((x-1+4)/(4))-1))/((√((2x^2+x-3+4)/(4))-1)) = (•)

Ora osserviamo che:

• (x-1+4)/(4) = (x-1)/(4)+(4)/(4) = (x-1)/(4)+1

• (2x^2+x-3+4)/(4) = (2x^2+x-3)/(4)+(4)/(4) = (2x^2+x-3)/(4)+1

Grazie a tali uguaglianze il limite diventa:

(•) = lim_(x → 1)((√((x-1)/(4)+1)-1))/((√((2x^2+x-3)/(4)+1)-1)) = (• •)

A questo punto utilizziamo il limite notevole generalizzato:

lim_(x → qualcosa)((1+f(x))^α-1)/(f(x)) = α

dove f(x) → 0 quando x → qualcosa.

Per utilizzarlo abbiamo bisogno di costruirci i pezzi che ci mancano. Nel nostro caso

- al numeratore la funzione da prendere in considerazione è

f(x) = (x-1)/(4)

- al denominatore la funzione da prendere in esame è invece

f(x) = (2x^2+x-3)/(4)

Quando x → 1 le due funzioni sono infinitesime, quindi rispettano le condizioni per utilizzare il limite notevole. Moltiplichiamo e dividiamo per

(x-1)/(4)

al numeratore, similmente moltiplichiamo e dividiamo per

(2x^2+x-3)/(4)

al denominatore. Così facendo otterremo il limite equivalente

(• •) = lim_(x → 1)((x-1)/(4)·((√(fracx-14+1)-1))/(fracx-14))/((2x^2+x-3)/(4)·(√(frac2x^2+x-34+1)-1)/(frac2x^2+x-34))

Grazie al limite notevole sappiamo che

lim_(x → 1)((√((x-1)/(4)+1)-1))/((x-1)/(4)) = (1)/(2) ; e ; lim_(x → 1)(√((2x^2+x-3)/(4)+1)-1)/((2x^2+x-3)/(4)) = (1)/(2)

dunque

lim_(x → 1)((x-1)/(4)·((√(fracx-14+1)-1))/(fracx-14))/((2x^2+x-3)/(4)·(√(frac2x^2+x-34+1)-1)/(frac2x^2+x-34)) = ((1)/(2))/((1)/(2))lim_(x → 1)((x-1)/(4))/((2x^2+x-3)/(4)) = lim_(x → 1)(x-1)/(2x^2+x-3) = (• • •)

Fattorizziamo il polinomio 2x^2+x-3 come segue

2x^2+x-3 = (x-1)(3+2x)

e sostituendo giungeremo al risultato:

(• • •) = lim_(x → 1)(x-1)/((x-1)(3+2x)) = lim_(x → 1)(1)/(3+2x) = (1)/(5)

Il primo è andato.
Ringraziano: Omega, frank094, bruskettina93

Limiti ricoducibili ai limiti notevoli #4310

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il limite

lim_(x → 0) (cot^2(x))(log((cos^2(x))))

che genera una forma indeterminata del tipo [∞·0]. Riscriviamo il secondo fattore come

log((cos^2(x))) = log((1+(cos^(2)(x)-1)))

e possiamo passare per equivalenza asintotica, grazie al limite notevole del logaritmo, al tendere di x → 0

log((1+(cos^(2)(x)-1))) ~ cos^2(x)-1

Poi possiamo scomporre la funzione nel prodotto di due fattori e passare per equivalenza asintotica, mediante il limite notevole del coseno, al tendere di x → 0

cos^2(x)-1 = (1+cos(x))(cos(x)-1) ~ 2·(-(1)/(2)x^2) = -x^2

(occhio che bisogna aggiungere un meno per far sì che il limite notevole del coseno "funzioni")

Per quanto riguarda la cotangente, osserviamo che

cot^2(x) = (cos^2(x))/(sin^2(x))

e poi applicando il limite notevole del seno, passiamo per equivalenza asintotica a

(cos^2(x))/(sin^2(x)) ~ (cos^(2)(x))/(x^2)

Mettendo tutto insieme

lim_(x → 0) (cot^2(x))(log((cos^2(x)))) = lim_(x → 0)(cos^(2)(x))/(x^2)(-x^2) = -1


Metodo alternativo

Possiamo risolvere il limite senza tirare in ballo le stime asintotiche, facendo esclusivamente uso dei limiti notevoli.

lim_(x → 0) (cot^2(x))(log((cos^2(x)))) = (•)

Dalla relazione fondamentale della trigonometria possiamo scrivere il quadrato del coseno in funzione del quadrato del seno

cos^2(x) = 1-sin^2(x)

così che il limite diventi

(•) = lim_(x → 0)cot^2(x)log(1-sin^2(x)) = (• •)

Dalla definizione di cotangente si ha inoltre che

cot^2(x) = (cos^2(x))/(sin^2(x))

dunque

(• •) = lim_(x → 0)(cos^2(x))/(sin^2(x))·log(1-sin^2(x)) = lim_(x → 0)cos^2(x)·(log(1-sin^2(x)))/(sin^2(x)) =

Osserviamo che il quadrato del coseno tende a 1 quando x tende a 0

= lim_(x → 0)1·(log(1-sin^2(x)))/(sin^2(x)) = (• • •)

quello rimasto non è altro che il limite notevole del logaritmo a meno di un segno

lim_(x → qualcosa)(log(1+f(x)))/(f(x)) = 1

valido a patto che f(x) sia infinitesimo per x → qualcosa. Nel caso in esame

f(x) = -sin^2(x)

infatti quando x → 0 evidentemente f(x) → 0. Per poter applicare il limite necessario aggiustare il segno del denominatore

(• • •) = lim_(x → 0)-(log(1-sin^2(x)))/(-sin^2(x)) = -1

Fatto!
Ringraziano: frank094, Ifrit, WizGhost

Limiti ricoducibili ai limiti notevoli #4384

avt
frank094
Sfera
Per risolvere il secondo limite

lim_(x → (π)/(4))(sin(x)-cos(x))/(π-4x) = •

opereremo una sostituzione che ci permetterà di ricondurci al limite notevole del seno

lim_(x → qualcosa)(sin(f(x)))/(f(x)) = 1

valido quando f(x) → 0 per x → qualcosa. Poniamo t = x-(π)/(4) così che essa tenda a 0 quando x → (π)/(4). Osserviamo che dalla sostituzione segue che

x = t+(π)/(4)

e dunque il limite di partenza si riscrive come

• = lim_(t → 0)(sin(t+(π)/(4))-cos(t+(π)/(4)))/(π-4(t+(π)/(4))) = lim_(t → 0)(sin(t+(π)/(4))-cos(t+(π)/(4)))/(-4t) = (•)

Le formule di somma e differenza degli archi per funzioni goniometriche ci dicono che

sin (t+(π)/(4)) = (√(2))/(2) sin(t)+(√(2))/(2)cos(t)

mentre

cos(t+(π)/(4)) = (√(2))/(2)cos(t)-(√(2))/(2)sin(t)

Possiamo dunque riscrivere il limite nella forma equivalente

(•) = lim_(t → 0)((√(2))/(2) sin(t)+(√(2))/(2) cos(t)-(√(2))/(2)cos(t)+(√(2))/(2)sin(t))/(-4t) = lim_(t → 0)(√(2)sin(t))/(-4t) =

In accordo con l'algebra dei limiti possiamo trasportare fuori dal simbolo di limite le costanti moltiplicative e grazie al limite notevole del seno giungiamo al risultato

= (√(2))/(-4)lim_(t → 0)(sin(t))/(t) = -(√(2))/(4)

Il limite è risolto.
Ringraziano: Omega, bruskettina93, ango1998
  • Pagina:
  • 1
Os