Verifica limite infinito di una funzione logaritmica con la definizione

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Verifica limite infinito di una funzione logaritmica con la definizione #42641

avt
Cima
Punto
Ciao ragazzi, mi è sorto un dubbio con un esercizio di verifica di un limite infinito mediante la definizione.

Devo verificare questo limite:

lim_(x → -∞)(-log_(2)(x^2)) = -∞

quindi determinato un M grande posso determinare un c tale che per ogni x < -c la mia funzione risulti f(x) < -M giusto?

Quindi pongo

-log_(2)(x^2) < -M

e poi non so più continuare. Per prima cosa non so come levare quel - davanti al logaritmo e poi come si svolge?
Ringraziano: AlessioFX
 
 

Verifica limite infinito di una funzione logaritmica con la definizione #42651

avt
Omega
Amministratore
Ciao Cima,

deduco che il limite che vuoi verificare è

lim_(x → -∞)[-log_2(x^2)] = -∞

Grazie alle regole dell'Algebra dei limiti puoi equivalentemente verificare che

lim_(x → -∞)[+log_2(x^2)] = +∞

infatti

lim_(x → -∞)[-log_2(x^2)] = -lim_(x → -∞)[+log_2(x^2)]

Questo risponde già alla tua domanda, ma facciamo finta di no e ripartiamo dal principio, con l'invito a leggere la lezione sulla verifica di limiti infiniti al tendere di x ad un valore infinito e a cercare qui su YM tra gli esercizi già svolti.

lim_(x → -∞)[-log_2(x^2)] = -∞

Punto primo: è sbagliato sia concettualmente che semanticamente scrivere "determinato un M grande". Se leggi bene la definizione di limite infinito al tendere di x ad un valore infinito, tu devi scegliere un qualsiasi M > 0 grande a piacere.

Volendo verificare

lim_(x → -∞)f(x) = -∞

Poni successivamente

f(x) < -M

vale a dire

-log_2(x^2) < -M

da cui, moltiplicando ambo i membri per (-1)

log_2(x^2) > M

Applica l'esponenziale in base 2 ad entrambi i membri della disequazione

x^2 > 2^(M)

e risolvi la corrispondente disequazione di secondo grado

x < -√(2^M) ∨ x > +√(2^M)

Considerando solamente il primo intervallo delle soluzioni abbiamo verificato il limite, perché se M è grande anche c = √(2^M) > 0 è grande, e abbiamo proprio

x < -c. Il limite è verificato.
Ringraziano: Pi Greco, umbria, AlessioFX
  • Pagina:
  • 1
Os