Calcolo di un limite con radici cubiche

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#42545
avt
Elshaa
Cerchio

Ciao, avrei un limite da calcolare, con un funzione che è il rapporto tra due radici cubiche:

lim_(x → −2)([3]√(x^(3)+8))/([3]√(x^(2)−4))

Ho scomposto numeratore e denominatore:

N = (x+2)(x−2)^(2) ; D = (x−2)(x+2)

Ho riscritto poi il limite con i fattori scomposti, poi ho trasformato le radici in potenze (elevando i singoli fattori al cubo e semplificando ove possibile) ma non mi trovo con il risultato, dovrei forse razionalizzare? Grazie.

#42558
avt
Ifrit
Amministratore

Ciao Elshaa, ahi ahi ahi ahi, mi hai sbagliato la fattorizzazione di una somma di cubi, ma niente paura, leggi la lezione che ti ho linkato, ti sarà certamente utile.

Il limite di cui vogliamo determinare il risultato è

lim_(x → −2)([3]√(x^3+8))/([3]√(x^2−4)) = [(0)/(0)] =

Possiamo subito osservare che si presenta nella forma indeterminata [(0)/(0)] pertanto il nostro intento diventa quello di risolverla facendo affidamento sui prodotti notevoli. In accordo con la scomposizione della somma di cubi sussiste l'uguaglianza

x^3+8 = (x+2)(x^2−2x+4)

mentre grazia alla formula sulla differenza di quadrati possiamo scrivere l'identità

x^2−4 = (x−2)(x+2)

Sostituiamo nel limite iniziale così che diventi

(•) = lim_(x → −2) ([3]√((x+2)(x^2−2x+4)))/([3]√((x−2)(x+2))) =

Invochiamo le proprietà dei radicali per ottenere il limite equivalente

= lim_(x → −2)[3]√(((x+2)(x^2−2x+4))/((x−2)(x+2))) =

Non ci resta che semplificare il fattore (x+2) e sostituire ad ogni occorrenza di x il valore cui tende

= lim_(x → −2)[3]√((x^2−2x+4)/(x−2)) = [3]√(−3) = −[3]√(3)

Il risultato dunque si ottiene per sostituzione diretta.

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Elshaa
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