Retta normale al grafico di una funzione con due parametri

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Retta normale al grafico di una funzione con due parametri #42527

avt
Lorenzo94
Cerchio
Buondì ragazzi, ho un piccolo problema sulle derivate e su una funzione con due parametri, in cui conosco la retta normale al grafico in un punto.

Determinare i coefficienti a e b in modo che la curva di equazione

y = \frac{x^2}{ax+b}

abbia per normale nel punto (2;-1) la retta: y = \frac{1}{2}x - 2.

Grazie mille! emt
 
 

Retta normale al grafico di una funzione con due parametri #42533

avt
Omega
Amministratore
Ciao Lorenzo94 emt

Abbiamo una funzione dipendente da due parametri, a,b\in\mathbb{R}, e vogliamo determinare i valori di tali parametri per i quali la funzione

f(x)=\frac{x^2}{ax-b}

abbia in P=(2,-1) come retta normale al grafico

y=\frac{1}{2}x-2.

La condizione sulla retta perpendicolare al grafico ci fornisce indicazioni sulla retta tangente: per definizione, infatti, una retta è perpendicolare al grafico di una funzione in un punto se è perpendicolare alla retta tangente al grafico della funzione nel punto stesso.

La retta tangente avrà dunque coefficiente angolare reciproco dell'opposto del coefficiente angolare della retta normale (condizione di perpendicolarità tra due rette):

m_t=-\frac{1}{m_n}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2

e avrà equazione data da

y-y_P=m_t(x-x_P)\Rightarrow y+1=-2(x-2)\Rightarrow y=-2x+3.

A questo punto abbiamo le due condizioni che ci servono per determinare i due parametri a,b:

1) condizione di passaggio del grafico per il punto, ossia

f(x_P)=y_P\Rightarrow \frac{4}{2a-b}=-1

2) condizione sulla retta tangente: la derivata della funzione valutata nell'ascissa del punto di tangenza coincide con il coefficiente angolare della retta tangente nel punto

(ricorda il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto)

f'(x_P)=m_t\Rightarrow \frac{4a-4b}{(2a-b)^2}=-2

Devi dunque risolvere il sistema

\begin{cases}\frac{4}{2a-b}=-1\\ \frac{4a-4b}{(2a-b)^2}=-2\end{cases}

lo lascio a te. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby

Re: Retta normale al grafico di una funzione con due parametri #42551

avt
Lorenzo94
Cerchio
Ok.
Penso di aver capito quasi tutto. Soltanto perchè sono quelle due le condizioni? Soprattutto la seconda non riesco a capire...
Grazie

Re: Retta normale al grafico di una funzione con due parametri #42563

avt
Omega
Amministratore
Non so e non posso sapere se la tua domanda è dovuta a tue lacune nella teoria o al modo in cui mi sono espresso nella risposta, non conoscendoti.

Se non hai capito il perché delle due condizioni, hai in realtà capito poco o nulla della mia risposta!

L'unica risposta sensata che posso darti è quella più generale, essendo la domanda troppo vaga. Vale a dire: leggi le lezioni che ho linkato. emt
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby
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Os