Derivata del reciproca di funzione con logaritmo e studio del segno

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Derivata del reciproca di funzione con logaritmo e studio del segno #42508

avt
Yul
Punto
Salve mi potreste svolgere passo passo come calcolare la derivata di una funzione logaritmica e con lo studio del suo segno?

f(x) = \frac{1}{x \ln^2 (x)}

C'è il risultato ma non riesco ad arrivarci in nessun modo...Grazie!
 
 

Derivata del reciproca di funzione con logaritmo e studio del segno #42510

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo la funzione

f(x)= \frac{1}{x\ln^2(x)}

Il suo dominio è definito dalle condizioni:

\begin{cases}x > 0\\ \\ x\ln^2(x)\ne 0\end{cases}

Consideriamo la seconda condizione.

Per la legge di annullamento del prodotto si ha che:

x\ln^2(x)\ne 0\iff x\ne 0\wedge \ln^2(x)\ne 0

La prima è già risolta, per quanto riguarda la seconda:

\ln^2(x)\ne 0\iff \ln(x)\ne 0\iff x\ne 1

In definitiva il dominio della funzione è

\mbox{Dom}(f)=(0, 1)\cup (1, +\infty)

Calcoliamo la derivata, utilizzando la regola di derivazione del quoziente:

D\left[\frac{1}{x \ln^2(x)}\right]= \frac{D[1](x \ln^2(x))-1\cdot D[x \ln^2(x)]}{(x \ln^2(x))^2}

Ora:

\bullet \ \ \ D[1]=0, perché la derivata di una costante è 0.

Dobbiamo calcolare D[x \ln^2(x)], per cui dobbiamo utilizzare la regola di derivazione del prodotto:

D[x \ln^2(x)]= D[x]\ln^2(x)+x D[\ln^2(x)]= \ln^2(x)+x\cdot \frac{2\ln(x)}{x}

Nota: per calcolare D[\ln^2(x)] dobbiamo utilizzare la regola di derivazione per funzioni composte)


\\D\left[\frac{1}{x \ln^2(x)}\right]= \frac{\overbrace{D[1](x \ln^2(x))}^{=0}-\overbrace{1\cdot D[x \ln^2(x)]}^{=\ln^2(x)+x\cdot \frac{2\ln(x)}{x}}}{(x \ln^2(x))^2}=\\ \\ \\= \frac{-\left(\ln^2(x)+x\cdot \frac{2\ln(x)}{x}\right)}{(x \ln^2(x))^2}

Semplificando le x:

= \frac{-\left(\ln^2(x)+2\ln(x)\right)}{(x \ln^2(x))^2}=

Mettiamo in evidenza \ln(x)

= \frac{-\left[\ln(x)\left(\ln(x)+2\right)\right]}{(x \ln^2(x))^2}=

Sviluppiamo la potenza al denominatore:

= \frac{-\left[\ln(x)\left(\ln(x)+2\right)\right]}{x^2 \ln^4(x)}=

e semplifichiamo il logaritmo

= \frac{-\left[\ln(x)+2\right]}{x^2 \ln^3(x)}=

In definitiva:

f'(x)=- \frac{\ln(x)+2}{x^2 \ln^3(x)}

Per studiare il segno della derivata prima consideriamo la disequazione

-\frac{\ln(x)+2}{x^2 \ln^3(x)}\ge 0

Cambiamo segno membro a membro e il verso della disequazione:

\frac{\ln(x)+2}{x^2\ln^3(x)}\le 0

A questo punto studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore.

Numeratore:

\ln(x)+2\ge 0\iff x\ge e^{-2}

Denominatore:

x^2\ln^3(x)>0\implies \ln^3(x)>0\implies \ln(x)>0

\implies x>1

Osserviamo che x^2 è sempre non negativo, quindi non influenza in alcun modo la disequazione.

A questo punto tabuli i segni:

\begin{matrix}N&:&(0)---[e^{-2}]+++(1)+++\\ D&:&(0)---[e^{-2}]---(1)+++\\ T&:&(0)+++[e^{-2}]---(1)+++ \end{matrix}

Scopriamo quindi che la disequazione è soddisfatta per e^{-2}\le x < 1

quindi la derivata prima è maggiore o uguale a zero se e^{-2}\le x < 1

È negativa nel complementare, cioè per 0 < x < e^{-2}\vee x > 1.

Osserviamo che x= e^{-2} è un punto di minimo relativo.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Yul

Derivata del reciproca di funzione con logaritmo e studio del segno #42512

avt
Yul
Punto
Grazie mille!
  • Pagina:
  • 1
Os