Verifica limite funzione logaritmica per x tendente a infinito uguale a infinito

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Verifica limite funzione logaritmica per x tendente a infinito uguale a infinito #42239

avt
Cima
Punto
Ciao ragazzi, come da titolo devo verificare un limite infinito al tendere di x a + infinito, per una funzione logaritmica:

lim (x->+infinito) ln[2/(x-1)] = -infinito.

Grazie, è urgente...confido in voi. emt
 
 

Re: Verifica limite funzione logaritmica per x tendente a infinito uguale a infinito #42241

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Cima emt

Non è necessario scrivere urgente! Non ha alcun effetto sullo staff. Dobbiamo dimostrare che:

\lim_{x\to +\infty}\ln\left(\frac{2}{x-1}\right)=-\infty

Per definizione di limite infinito per x che tende a infinito, dobbiamo mostrare che fissato N>0, esiste M>0 tale che se x>M allora f(x)<-N

L'ultima disuguaglianza si traduce nella seguente:

\ln\left(\frac{2}{x-1}\right)<-N\iff \frac{2}{x-1}<e^{-N}

Passando al reciproco membro a membro e invertendo il verso della disuguaglianza:

\frac{x-1}{2}>\frac{1}{e^{-N}}

Moltiplicando membro a membro per 2:

x-1>\frac{2}{e^{-N}}

sommando membro a membro:

x>\frac{2}{e^{-N}}+1

Se prendiamo M= \frac{2}{e^{-N}}+1 abbiamo finito, perché abbiamo dimostrato l'esistenza di M, per ogni N>0! Vale la definizione di limite!

Finito
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Cima

Re: Verifica limite funzione logaritmica per x tendente a infinito uguale a infinito #42242

avt
Cima
Punto
Grazie infinite.. scusa se ho scritto urgente ma mi serviva proprio.. comunque non si ripeterà emt

Grazie tante ancora emt
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Os