Derivata di una somma con esponenziale #4221

avt
beps92
Cerchio
Buongiorno, tutti bene? Oggi sono alle prese con la derivata della somma di due funzioni, di cui una è un'esponenziale composta. Sarebbe l'esercizio VIII della scheda 1 beginner di esercizi sul calcolo delle derivate:

f(x)=3^x+e^{{4x}^{2}}


Parto dal capire qual'è la derivata di e^{{4x}^{2}}. Considero l'uguaglianza e^{{4x}^{2}}= e^{8x}, quindi

\frac{d}{dx}[e^{8x}]=e^{8x}ln[e^8]=8e^{8x}

e quindi la somma delle due derivate dovrebbe essere

f'(x)=3^x\ln(3)+8e^{8x}

o no?
 
 

Derivata di una somma con esponenziale #4222

avt
frank094
Sfera
Buongiorno Beps!

C'è un errore quando tu scrivi questa uguaglianza

e^{4x^2} = e^{8x}

che non è valida per tutte le x nell'insieme dei reali ma solo quando x vale zero o due, quindi non puoi fare questa sostituzione.

Per derivare questo termine si ricorre al teorema di derivazione di una funzione composta, ponendo

g(x) = e^x\ \ \ h(x) = 4x^2

La formula risolutiva è

f'(x) = g'(h(x)) h'(x) = e^{4x^2} \cdot 8x

Ed ecco la soluzione. L'altro termine invece è fatto bene (è una derivata fondamentale), qualche dubbio?
Ringraziano: Omega, Ifrit, beps92

Derivata di una somma con esponenziale #4314

avt
beps92
Cerchio
Eeeehm, sì, mi faresti vedere i passaggi?

Più che altro mi è difficile individuare g(x) ed h(x) quando ci sono gli esponenti...

Derivata di una somma con esponenziale #4320

avt
frank094
Sfera
Quando individui le due funzioni che compongono f devi semplicemente fare in modo che

g( h(x) ) = f(x)

Ora, se f è una funzione esponenziale, la funzione g è data dalla base elevata alla x:

g(x) = a^x

Per raggiungere la funzione f manca solo l'esponente, quindi la funzione h ovvia a questo problema prendendo proprio l'esponente. Nel nostro caso infatti

h(x) = 4x^2

Se controlli la composizione

g (h(x)) = a^{4x^2}

che è la funzione iniziale. Per quanto riguarda i passaggi della derivata è facile notare che

g'(x) = e^x \qquad \to \qquad g'( h(x) ) = e^{4x^2}

infine la derivata della funzione h è molto semplice, e si finisce con il prodotto tra i due risultati ottenuti.
Ringraziano: Omega, Ifrit, beps92
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Os