Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale

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Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42183

avt
Elshaa
Cerchio
Ciao, riscontro difficoltà nella risoluzione di questo limite, in cui compaiono le funzioni esponenziali

\lim_{x\to 0 }{\frac{e^{x}-e^{-x}}{8x}}

ho provato a risolvere guardando e^{-x} come \frac{1}{e^{x}}, di conseguenza ottengo \frac{\frac{(e^{x^2}-1)}{e^{x}}}{x} (ho anteposto alla frazione 1/8, e da qui non riesco a procedere..avrò intrapreso la strada sbagliata?

[Edit] sono vicino alla risoluzione: ho individuato e^{x^2}-1 come differenza di quadrati, quindi (e^x-1)(e^x+1). Da qui il limite per x\to 0 del primo fattore è 1, mentre il secondo limite, sostituendo semplicemente 0 al posto di x ottengo 2/0..cosa dovrei fare?
 
 

Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42188

avt
Omega
Amministratore
Ciao Elshaa,

al di là del fatto che \frac{2}{0} non è una forma indeterminata, ma un rapporto dell'Algebra degli infinitesimi e degli infiniti, l'idea iniziale è buona: partiamo dalla traccia

\lim_{x\to 0}{\frac{e^x-e^{-x}}{8x}}=

e utilizziamo la definizione di potenza con esponente negativo per riscrivere il limite nella forma equivalente

=\lim_{x\to 0}{\frac{e^x-\frac{1}{e^{x}}}{8x}}=

Applichiamo a dovere le proprietà delle potenze ed eseguiamo qualche semplice passaggio algebrico per esprimere in forma normale la frazione di frazioni

\\ =\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{e^{2x}-1}{e^{x}}}{8x}}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{8x e^{x}}=(\bullet)

Sfruttando il limite notevole esponenziale, possiamo costruire la stima asintotica

e^{2x}-1\sim_{x\to 0}2x

sostituirla nel limite e calcolare equivalentemente

(\bullet)=\lim_{x\to 0}{\frac{2x}{8xe^{x}}}=

ossia

=\lim_{x\to 0}{\frac{1}{4e^{x}}}=\frac{1}{4e^{0}}=\frac{1}{4}

Ecco fatto. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Elshaa

Re: Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42236

avt
Elshaa
Cerchio
Grazie mille Omega...solo una cosa volevo chiederti:

Se anziché utilizzare l'equivalente asintotico moltiplicassi e dividessi per 2

\frac{e^{2x}-1}{xe^{x}}

ovviamente dopo aver isolato davanti al limite \frac{1}{8}, sarebbe lo stesso giusto?

In caso di consenso preferirei utilizzare questo metodo che tra l'altro è il tuo posto in forma diversa in modo da rendere meglio visibile il limite notevole xD.

Re: Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42345

avt
Omega
Amministratore
E' lo stesso: puoi anche evitare di moltiplicare e dividere per 2, e scrivere direttamente il limite come

\lim_{x\to 0}{\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\frac{1}{4e^{x}}}

La sostituzione per equivalenze asintotiche non è nulla di diverso rispetto al procedimento per il quale, con una serie di passaggio algebrici del tipo "dividi e moltiplica per una stessa quantità", si prepara il limite per l'applicazione diretta del limite notevole.

Quando si dice "passo a calcolare, per equivalenza asintotica..." in realtà si sottintende tutta quella trafila di passaggi algebrici che portano all'applicazione diretta del limite notevole.

Comunque è tutto spiegato nella lezione "Limiti notevoli: come si usano". emt
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Os