Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale

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Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42183

avt
Elshaa
Cerchio
Ciao, riscontro difficoltà nella risoluzione di questo limite, in cui compaiono le funzioni esponenziali

lim_(x → 0)(e^(x)-e^(-x))/(8x)

ho provato a risolvere guardando e^(-x) come (1)/(e^(x)), di conseguenza ottengo (((e^(x^2)-1))/(e^(x)))/(x) (ho anteposto alla frazione 1/8, e da qui non riesco a procedere..avrò intrapreso la strada sbagliata?

[Edit] sono vicino alla risoluzione: ho individuato e^(x^2)-1 come differenza di quadrati, quindi (e^x-1)(e^x+1). Da qui il limite per x → 0 del primo fattore è 1, mentre il secondo limite, sostituendo semplicemente 0 al posto di x ottengo 2/0..cosa dovrei fare?
 
 

Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42188

avt
Omega
Amministratore
Ciao Elshaa,

al di là del fatto che (2)/(0) non è una forma indeterminata, ma un rapporto dell'Algebra degli infinitesimi e degli infiniti, l'idea iniziale è buona: partiamo dalla traccia

lim_(x → 0)(e^x-e^(-x))/(8x) =

e utilizziamo la definizione di potenza con esponente negativo per riscrivere il limite nella forma equivalente

= lim_(x → 0)(e^x-(1)/(e^(x)))/(8x) =

Applichiamo a dovere le proprietà delle potenze ed eseguiamo qualche semplice passaggio algebrico per esprimere in forma normale la frazione di frazioni

 = lim_(x → 0)((e^(2x)-1)/(e^(x)))/(8x) = lim_(x → 0)(e^(2x)-1)/(8x e^(x)) = (•)

Sfruttando il limite notevole esponenziale, possiamo costruire la stima asintotica

e^(2x)-1 ~ _(x → 0)2x

sostituirla nel limite e calcolare equivalentemente

(•) = lim_(x → 0)(2x)/(8xe^(x)) =

ossia

= lim_(x → 0)(1)/(4e^(x)) = (1)/(4e^(0)) = (1)/(4)

Ecco fatto. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Elshaa

Re: Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42236

avt
Elshaa
Cerchio
Grazie mille Omega...solo una cosa volevo chiederti:

Se anziché utilizzare l'equivalente asintotico moltiplicassi e dividessi per 2

(e^(2x)-1)/(xe^(x))

ovviamente dopo aver isolato davanti al limite (1)/(8), sarebbe lo stesso giusto?

In caso di consenso preferirei utilizzare questo metodo che tra l'altro è il tuo posto in forma diversa in modo da rendere meglio visibile il limite notevole xD.

Re: Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42345

avt
Omega
Amministratore
E' lo stesso: puoi anche evitare di moltiplicare e dividere per 2, e scrivere direttamente il limite come

lim_(x → 0)(e^(2x)-1)/(2x)·(1)/(4e^(x))

La sostituzione per equivalenze asintotiche non è nulla di diverso rispetto al procedimento per il quale, con una serie di passaggio algebrici del tipo "dividi e moltiplica per una stessa quantità", si prepara il limite per l'applicazione diretta del limite notevole.

Quando si dice "passo a calcolare, per equivalenza asintotica..." in realtà si sottintende tutta quella trafila di passaggi algebrici che portano all'applicazione diretta del limite notevole.

Comunque è tutto spiegato nella lezione "Limiti notevoli: come si usano". emt
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Os