Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale

Ciao, riscontro difficoltà nella risoluzione di questo limite, in cui compaiono le funzioni esponenziali



ho provato a risolvere guardando come , di conseguenza ottengo (ho anteposto alla frazione 1/8, e da qui non riesco a procedere..avrò intrapreso la strada sbagliata?

[Edit] sono vicino alla risoluzione: ho individuato come differenza di quadrati, quindi . Da qui il limite per del primo fattore è 1, mentre il secondo limite, sostituendo semplicemente 0 al posto di x ottengo 2/0..cosa dovrei fare?

Ciao Elshaa,

al di là del fatto che non è una forma indeterminata, ma un rapporto dell'Algebra degli infinitesimi e degli infiniti, l'idea iniziale è buona: partiamo dalla traccia



e utilizziamo la definizione di potenza con esponente negativo per riscrivere il limite nella forma equivalente



Applichiamo a dovere le proprietà delle potenze ed eseguiamo qualche semplice passaggio algebrico per esprimere in forma normale la frazione di frazioni



Sfruttando il limite notevole esponenziale, possiamo costruire la stima asintotica



sostituirla nel limite e calcolare equivalentemente



ossia



Ecco fatto.

Grazie mille Omega...solo una cosa volevo chiederti:

Se anziché utilizzare l'equivalente asintotico moltiplicassi e dividessi per 2



ovviamente dopo aver isolato davanti al limite , sarebbe lo stesso giusto?

In caso di consenso preferirei utilizzare questo metodo che tra l'altro è il tuo posto in forma diversa in modo da rendere meglio visibile il limite notevole xD.

E' lo stesso: puoi anche evitare di moltiplicare e dividere per , e scrivere direttamente il limite come



La sostituzione per equivalenze asintotiche non è nulla di diverso rispetto al procedimento per il quale, con una serie di passaggio algebrici del tipo "dividi e moltiplica per una stessa quantità", si prepara il limite per l'applicazione diretta del limite notevole.

Quando si dice "passo a calcolare, per equivalenza asintotica..." in realtà si sottintende tutta quella trafila di passaggi algebrici che portano all'applicazione diretta del limite notevole.

Comunque è tutto spiegato nella lezione "Limiti notevoli: come si usano".