Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale

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Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42183

Elshaa

Cerchio

Ciao, riscontro difficoltà nella risoluzione di questo limite, in cui compaiono le funzioni esponenziali

$\lim_{x\to 0 }{\frac{e^{x}-e^{-x}}{8x}}$

ho provato a risolvere guardando $e^{-x}$ come $\frac{1}{e^{x}}$ , di conseguenza ottengo $\frac{\frac{(e^{x^2}-1)}{e^{x}}}{x}$ (ho anteposto alla frazione 1/8, e da qui non riesco a procedere..avrò intrapreso la strada sbagliata?

[Edit] sono vicino alla risoluzione: ho individuato $e^{x^2}-1$ come differenza di quadrati, quindi

. Da qui il limite per $x\to 0$ del primo fattore è 1, mentre il secondo limite, sostituendo semplicemente 0 al posto di x ottengo 2/0..cosa dovrei fare?

Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42188

Omega

Amministratore

Ciao Elshaa,

al di là del fatto che $\frac{2}{0}$ non è una forma indeterminata, ma un rapporto dell'Algebra degli infinitesimi e degli infiniti, l'idea iniziale è buona: partiamo dalla traccia

$\lim_{x\to 0}{\frac{e^x-e^{-x}}{8x}}=$

e utilizziamo la definizione di potenza con esponente negativo per riscrivere il limite nella forma equivalente

$=\lim_{x\to 0}{\frac{e^x-\frac{1}{e^{x}}}{8x}}=$

Applichiamo a dovere le proprietà delle potenze ed eseguiamo qualche semplice passaggio algebrico per esprimere in forma normale la frazione di frazioni

$\\ =\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{e^{2x}-1}{e^{x}}}{8x}}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{8x e^{x}}=(\bullet)$

Sfruttando il limite notevole esponenziale, possiamo costruire la stima asintotica

$e^{2x}-1\sim_{x\to 0}2x$

sostituirla nel limite e calcolare equivalentemente

$(\bullet)=\lim_{x\to 0}{\frac{2x}{8xe^{x}}}=$

ossia

$=\lim_{x\to 0}{\frac{1}{4e^{x}}}=\frac{1}{4e^{0}}=\frac{1}{4}$

Ecco fatto. emt

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Elshaa

Re: Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42236

Elshaa

Cerchio

Grazie mille Omega...solo una cosa volevo chiederti:

Se anziché utilizzare l'equivalente asintotico moltiplicassi e dividessi per 2

$\frac{e^{2x}-1}{xe^{x}}$

ovviamente dopo aver isolato davanti al limite $\frac{1}{8}$ , sarebbe lo stesso giusto?

In caso di consenso preferirei utilizzare questo metodo che tra l'altro è il tuo posto in forma diversa in modo da rendere meglio visibile il limite notevole xD.

Re: Svolgimento di un limite con limite notevole dell'esponenziale #42345

Omega

Amministratore

E' lo stesso: puoi anche evitare di moltiplicare e dividere per

, e scrivere direttamente il limite come

$\lim_{x\to 0}{\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\frac{1}{4e^{x}}}$

La sostituzione per equivalenze asintotiche non è nulla di diverso rispetto al procedimento per il quale, con una serie di passaggio algebrici del tipo "dividi e moltiplica per una stessa quantità", si prepara il limite per l'applicazione diretta del limite notevole.

Quando si dice "passo a calcolare, per equivalenza asintotica..." in realtà si sottintende tutta quella trafila di passaggi algebrici che portano all'applicazione diretta del limite notevole.

Comunque è tutto spiegato nella lezione "Limiti notevoli: come si usano". emt

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