Calcolo di un limite fratto con logaritmo [limiti notevoli]

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Calcolo di un limite fratto con logaritmo [limiti notevoli] #41906

avt
Elshaa
Cerchio
Ciao, devo calcolare il limite di una funzione fratta in cui vanno applicati i limiti notevoli, e vorrei chiedervi aiuto per lo svolgimento.

lim_(x → 0)(ln(1-4x))/(x)

Ho provato a procedere per sostituzione ma non mi trovo..
 
 

Calcolo di un limite fratto con logaritmo [limiti notevoli] #41908

avt
Ifrit
Amministratore
Il limite è:

lim_(x → 0)(ln(1-4x))/(x)

In questo caso facciamo intervenire il limite notevole del logaritmo in forma generale.

lim_(f(x) → 0)(ln(1+f(x)))/(f(x)) = 1

Osserviamo però che per applicarlo devono verificarsi alcune condizioni:

- l'argomento del logaritmo deve tendere ad 1;

- al denominatore deve comparire la funzione infinitesima f(x).

Nel nostro caso la funzione f(x) = -4x, infatti quando x → 0 si ha che f(x) → 0. Affinché al denominatore appaia -4x, moltiplichiamo e dividiamo per -4

lim_(x → 0)-4·(ln(1-4x))/(-4x) = -4lim_(x → 0)(ln(1-4x))/(-4x) (= 1) = -4

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Elshaa, PiloZ
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Os