Funzione derivabile in un intervallo #4189

avt
beps92
Cerchio
Quando una funzione è derivabile in un certo intervallo? Cosa significa e come faccio a capirlo?
 
 

Funzione derivabile in un intervallo #4190

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Beps92,

diciamo che f è una funzione derivabile in un punto x_0\in \mbox{dom}(f) se esiste finito il limite del rapporto incrementale:

\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Una funzione si dice derivabile in un intervallo I quando è derivabile in ogni punto di I.

In matematichese y=f(x) è derivabile in I se e solo se \forall x\in I esiste finito il limite del rapporto incrementale

\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Ora, per capire quando una funzione è derivabile in un intervallo bisogna ricorrere a teoremi abbastanza classici, ricorda infatti che:

- la somma e il prodotto di funzioni derivabili è derivabile.

Questo semplice risultato ci permette di dire senza fare alcun conto se la funzione che abbiamo di fronte è derivabile o meno.

- Tutte le funzioni elementari (sin, cos, tan, polinomi, esponenziali, logaritmi) o quasi, sono derivabili nel loro dominio (tranne le radici e il valore assoluto che sono un po' più delicate).

- La composizione di funzioni derivabili è derivabile.

Certo è che esistono alcuni casi patologici, per i quali abbiamo bisogno di effettuare un'indagine tramite la definizione. All'inizio avrai problemi, ma quando ci prenderai la mano, ti assicuro che sarà più semplice.

Ad ogni modo ti rimando alla lettura delle lezioni:

- funzione derivabile

- punti di non derivabilità

in cui trattiamo nel dettaglio l'argomento.
Ringraziano: Omega, frank094, beps92

Funzione derivabile in un intervallo #4191

avt
beps92
Cerchio
Ah ok! Il fatto che somma e prodotto di funzioni derivabili sia derivabile immagino significhi che ciò valga anche per differenza e quoziente.

Ma... come, y=\sqrt{x} non è derivabile?

La derivata non è \frac{1}{2\sqrt{x}}\ ?

Funzione derivabile in un intervallo #4192

avt
Ifrit
Amministratore
Certo che è derivabile, ma non in tutto il suo dominio.

\sqrt{x} ha per dominio [0,+\infty)

La derivata prima della radice è definita in (0, +\infty)

Sì, vale anche per la differenza e quoziente. Nell'ultimo caso però devi stare un po' più attento, ovviamente devi pretendere che il denominatore del quoziente sia diverso da zero.
Ringraziano: Omega, frank094, beps92, temp
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Os