Dubbio procedimento nel calcolo dei limiti esponenziali

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Dubbio procedimento nel calcolo dei limiti esponenziali #41833

avt
Elshaa
Cerchio
Salve, la mia domanda riguarda il procedimento per il calcolo dei limiti di funzioni esponenziali. Quando ho l'argomento di un limite nella forma ad esempio:

(1+3x)^(2/x)

oppure quando ho

(1-1/x)^(2x)

come devo comportarmi? Nel primo esempio sono confuso sul da farsi (sarebbe corretto invertire sia argomento sia esponente?). Nel secondo caso dato che quel - devo trasformarlo in + come procedo?

Sono piccoli intoppi che ho riscontrato nella risoluzione di due esercizi.
 
 

Dubbio procedimento nel calcolo dei limiti esponenziali #41847

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Elshaa

A quanto ho capito il limite dovrebbe essere:

\lim_{x\to 0}(1+3x)^{\frac{2}{x}}

In questi casi puoi procedere in due modi, o passi alla notazione esponenziale della funzione di cui vuoi calcolare il limite:

f(x)^{g(x)}= e^{g(x)\ln(f(x))}

In questo modo il limite si riscrive come:


\lim_{x\to 0}e^{\frac{2}{x}\cdot\ln(1+3x)}=

e^{\lim_{x\to 0}\frac{2}{x}\ln(1+3x)}

Moltiplichiamo e dividiamo per 3:

e^{\lim_{x\to 0}6\frac{\ln(1+3x)}{3x}}


Per il limite notevole generalizzato del logaritmo:

\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+3x)}{3x}=1

di conseguenza:

e^{6\overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+3x)}{3x}}^{=1}}= e^6
______________


Un altro modo di procedere del tutto equivalente è utilizzare il limite notevole:

\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}= e

Il nostro intento è quello di riportare il limite di partenza nella forma su scritta.

\lim_{x\to 0}(1+3x)^{\frac{2}{x}}

Poniamo t= 3x\implies x= \frac{t}{3}, ed osserviamo che quando x tende a zero, anche t lo fa:

\lim_{x\to 0}(1+t)^{\frac{2}{\frac{t}{3}}}=

\lim_{x\to 0}(1+t)^{\frac{6}{t}}=

Per la proprietà delle potenze possiamo scrivere la precedente quantità come:

\lim_{x\to 0}\left[(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^{6}=

\left[\lim_{x\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^{6}=

Il limite all'interno delle parentesi quadre è "e"

\left[\lim_{x\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^{6}=e^{6}


______

Ancora un altro metodo, consiste nel ricondursi al limite notevole:

\lim_{t\to \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}= e

Vediamo come:

\lim_{x\to 0}(1+3x)^{\frac{2}{x}}

Poniamo t=\frac{1}{3x}\implies x= \frac{1}{3t} ed osserviamo che quando x tende a 0 (+) t tende a +infinito

Sostituendo in modo opportuno:

\lim_{t\to \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{2}{\frac{1}{3t}}}

\lim_{t\to \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{6 t}=

\lim_{t\to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{ t}\right]^6=

\left[\lim_{t\to \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{ t}\right]^6=

Il limite all'interno delle parentesi quadre è quello notevole pertanto:

\left[\lim_{t\to \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{ t}\right]^6= e^6

Abbiamo tre strade per risolvere un limite (in realtà ce ne sono molte di più! emt )
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Elshaa

Re: Dubbio procedimento nel calcolo dei limiti esponenziali #41876

avt
Elshaa
Cerchio
Grazie Mille e complimenti per la spiegazione nei minimi dettagli! mi hai chiarito un procedimento che potrebbe essermi molto utile in vista di un eventuale compito(non ero a conoscenza del limite notevole che mi hai fatto presente nel secondo caso,è per caso una particolarità del limite notevole neperiano?)..da quanto mi è stato spiegato,un unico e piccolo dubbio mi permane:da cosa capisco,nel secondo caso illustratomi,che x tende a 0 da destra?

Re: Dubbio procedimento nel calcolo dei limiti esponenziali #41878

avt
Ifrit
Ambasciatore
In realtà il limite notevole

\lim_{t\to \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e

vale anche per t\to -\infty.

Ragioniamo un attimo sulla posizione: t= 1/x. Quando x tende a 0^+ t tende a più infinito e il limite vale "e". Quando x tende a 0^- t tende a meno infinito e il limite notevole continua a valere. Sia che x tende a 0^+ o a 0^- il limite ha lo stesso valore. Probabilmente però non è il modo più semplice di procedere (a livello concettuale nasconde delle insidie).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Elshaa

Re: Dubbio procedimento nel calcolo dei limiti esponenziali #41879

avt
Elshaa
Cerchio
Quindi se io dovessi scrivere semplicemente"per x che tende a 0,y tende a infinito" includendo in tal modo sia l'intorno destro di 0 che quello sinistro,non dovrebbe esser considerato un errore giusto?

Re: Dubbio procedimento nel calcolo dei limiti esponenziali #41880

avt
Ifrit
Ambasciatore
In questo caso assolutamente no! non è da considerarsi errore. emt
Ringraziano: Omega, Elshaa
  • Pagina:
  • 1
Os