Dubbio procedimento nel calcolo dei limiti esponenziali

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#41833
avt
Elshaa
Cerchio

Salve, la mia domanda riguarda il procedimento per il calcolo dei limiti di funzioni esponenziali. Quando ho l'argomento di un limite nella forma ad esempio:

(1+3x)^(2/x)

oppure quando ho

(1-1/x)^(2x)

come devo comportarmi? Nel primo esempio sono confuso sul da farsi (sarebbe corretto invertire sia argomento sia esponente?). Nel secondo caso dato che quel - devo trasformarlo in + come procedo?

Sono piccoli intoppi che ho riscontrato nella risoluzione di due esercizi.

#41847
avt
Ifrit
Amministratore

Ciao Elshaa

A quanto ho capito il limite dovrebbe essere:

lim_(x → 0)(1+3x)^((2)/(x))

In questi casi puoi procedere in due modi, o passi alla notazione esponenziale della funzione di cui vuoi calcolare il limite:

f(x)^(g(x)) = e^(g(x)ln(f(x)))

In questo modo il limite si riscrive come:

lim_(x → 0)e^((2)/(x)·ln(1+3x)) =

e^(lim_(x → 0)(2)/(x)ln(1+3x))

Moltiplichiamo e dividiamo per 3:

e^(lim_(x → 0)6(ln(1+3x))/(3x))

Per il limite notevole generalizzato del logaritmo:

lim_(x → 0)(ln(1+3x))/(3x) = 1

di conseguenza:

e^(6lim_(x → 0)(ln(1+3x))/(3x) (= 1)) = e^6

______________

Un altro modo di procedere del tutto equivalente è utilizzare il limite notevole:

lim_(t → 0)(1+t)^((1)/(t)) = e

Il nostro intento è quello di riportare il limite di partenza nella forma su scritta.

lim_(x → 0)(1+3x)^((2)/(x))

Poniamo t = 3x ⇒ x = (t)/(3), ed osserviamo che quando x tende a zero, anche t lo fa:

lim_(x → 0)(1+t)^((2)/((t)/(3))) =

lim_(x → 0)(1+t)^((6)/(t)) =

Per la proprietà delle potenze possiamo scrivere la precedente quantità come:

lim_(x → 0)[(1+t)^((1)/(t))]^(6) =

[lim_(x → 0)(1+t)^((1)/(t))]^(6) =

Il limite all'interno delle parentesi quadre è "e"

[lim_(x → 0)(1+t)^((1)/(t))]^(6) = e^(6)

______

Ancora un altro metodo, consiste nel ricondursi al limite notevole:

lim_(t → ∞)(1+(1)/(t))^(t) = e

Vediamo come:

lim_(x → 0)(1+3x)^((2)/(x))

Poniamo t = (1)/(3x) ⇒ x = (1)/(3t) ed osserviamo che quando x tende a 0 (+) t tende a +infinito

Sostituendo in modo opportuno:

lim_(t → ∞)(1+(1)/(t))^((2)/((1)/(3t)))

lim_(t → ∞)(1+(1)/(t))^(6 t) =

lim_(t → ∞)[(1+(1)/(t))^(t)]^6 =

[lim_(t → ∞)(1+(1)/(t))^(t)]^6 =

Il limite all'interno delle parentesi quadre è quello notevole pertanto:

[lim_(t → ∞)(1+(1)/(t))^(t)]^6 = e^6

Abbiamo tre strade per risolvere un limite (in realtà ce ne sono molte di più! emt )

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Elshaa
#41876
avt
Elshaa
Cerchio

Grazie Mille e complimenti per la spiegazione nei minimi dettagli! mi hai chiarito un procedimento che potrebbe essermi molto utile in vista di un eventuale compito(non ero a conoscenza del limite notevole che mi hai fatto presente nel secondo caso,è per caso una particolarità del limite notevole neperiano?)..da quanto mi è stato spiegato,un unico e piccolo dubbio mi permane:da cosa capisco,nel secondo caso illustratomi,che x tende a 0 da destra?

#41878
avt
Ifrit
Amministratore

In realtà il limite notevole

lim_(t → ∞)(1+(1)/(t))^t = e

vale anche per t → −∞.

Ragioniamo un attimo sulla posizione: t= 1/x. Quando x tende a 0^+ t tende a più infinito e il limite vale "e". Quando x tende a 0^- t tende a meno infinito e il limite notevole continua a valere. Sia che x tende a 0^+ o a 0^- il limite ha lo stesso valore. Probabilmente però non è il modo più semplice di procedere (a livello concettuale nasconde delle insidie).

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Elshaa
#41879
avt
Elshaa
Cerchio

Quindi se io dovessi scrivere semplicemente"per x che tende a 0,y tende a infinito" includendo in tal modo sia l'intorno destro di 0 che quello sinistro,non dovrebbe esser considerato un errore giusto?

#41880
avt
Ifrit
Amministratore

In questo caso assolutamente no! non è da considerarsi errore. emt

Ringraziano: Omega, Elshaa
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