Calcolo di un limite fratto con il seno

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Calcolo di un limite fratto con il seno #41827

avt
Rea
Banned
Non capisco che passaggi devo fare per calcolare il seguente limite fratto con seno

\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}

Se poteste scrivermi tutti i passaggi ve ne sarei infinitamente grato.
 
 

Calcolo di un limite fratto con il seno #41834

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il limite

\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=

genera una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo risolvere mediante un'opportuna sostituzione con cui ricondurci al limite notevole del seno.

Poniamo t= \frac{2}{x} ed osserviamo che quando x tende a +\infty allora t tende a zero. Dalla sostituzione fatta segue inoltre che \frac{1}{x}=\frac{t}{2} per cui il limite si esprime come:

=\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\frac{t}{2}}=

Scriviamo la frazione di frazioni in forma normale

=\lim_{t\to 0}2\cdot \frac{\sin(t)}{t}=

e invochiamo il limite notevole del seno con cui concludiamo che il limite vale 2

=2\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}=2\cdot 1=2

Fatto!
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os