Limite con logaritmo da calcolare con i limiti notevoli

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Limite con logaritmo da calcolare con i limiti notevoli #41794

avt
Elshaa
Cerchio
Ciao, chi mi aiuta con un limite fratto di una funzione logaritmica?

\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{\ln{(x+5)}-\ln{(5)}}{x}

Oltretutto ho un dubbio: sarebbe errato semplificare ln5-ln5 al numeratore?

Grazie in anticipo!
 
 

Limite con logaritmo da calcolare con i limiti notevoli #41797

avt
Omega
Amministratore
Ciao Elshaa emt

Come hai correttamente scritto nel titolo, il limite qui presente si calcola con l'ausilio dei limiti notevoli. (A sproposito: come si usano i limiti notevoli?).

Consideriamo quindi il limite

\lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+5)}-\ln{(5)}}{x}}=

che si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Possiamo scioglierla mediante i limiti notevoli ed in particolare faremo intervenire quello del logaritmo. Il punto è capire come applicare il limite notevole del logaritmo.

Grazie alle proprietà dei logaritmi, sappiamo che la differenza di due logaritmi coincide con il logaritmo del rapporto dei due argomenti

=\lim_{x\to 0}{\frac{\ln{\left(\frac{x+5}{5}\right)}}{x}}=

Nell'argomento dividiamo termine a termine

=\lim_{x\to 0}{\frac{\ln{\left(1+\frac{x}{5}\right)}}{x}}=(\bullet)

Ci siamo, perché al tendere di x\to 0 risulta che \frac{x}{5}\to 0, quindi possiamo sfruttare il limite notevole del logaritmo

\lim_{g(x)\to 0}\frac{\ln(1+g(x))}{g(x)}=1

con cui costruire la stima asintotica associata

\ln(1+g(x))\sim_{g(x)\to 0}g(x)

che nel nostro caso diventa

\ln{\left(1+\frac{x}{5}\right)}\sim_{x\to 0}\frac{x}{5}

Possiamo pertanto calcolare il limite equivalente

(\bullet)=\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{x}{5}}{x}}=\frac{1}{5}

dopo aver opportunamente semplificato. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Elshaa

Limite con logaritmo da calcolare con i limiti notevoli #41799

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Elshaa emt

In pratica il limite è:

\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+5)-\ln(5)}{x}=(\bullet)

Per la proprietà del logaritmo si ha che:

\ln(x+5)-\ln(5)= \ln\left(\frac{x+5}{5}\right)= \ln\left(1+\frac{x}{5}\right)

Il limite si riscrive come:

(\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{x}{5}\right)}{x}=

Dividiamo e moltiplichiamo per 5 al denominatore.

=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{x}{5}\right)}{5\cdot \frac{x}{5}}=(\bullet\bullet)

A questo punto facciamo intervenire il limite notevole generalizzato del logaritmo:

\lim_{f(x)\to 0}\frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}=1

mediante il quale il limite diventa

\\ (\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{x}{5}\right)}{5\cdot \frac{x}{5}}= \\ \\ \\ =\frac{1}{5}\overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{x}{5}\right)}{ \frac{x}{5}}}^{=1}= \frac{1}{5}

Se hai dubbi chiedi pure. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Elshaa

Limite con logaritmo da calcolare con i limiti notevoli #41810

avt
Elshaa
Cerchio
Perfetto!...Grazie mille!
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Os