Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo

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Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo #41096

avt
Roby95
Punto
Stavo cercando di capire i punti di discontinuità di questa funzione con valore assoluto:

f(x)=\frac{|x|}{\sin{\left(x\right)}}

Siccome ho \sin(x) al denominatore dovrei imporlo diverso da zero per assicurarmi l'esistenza della funzione. Giusto?

Quindi imponendo \sin(x)\neq 0, dovrei avere x\neq k360^o, giusto?

Perché invece sul libro come risultato è riportato 0?
 
 

Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo #41101

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Roby95, se vogliamo essere proprio fiscali, nemmeno 0 è un punto di discontinuità. Il problema di fondo è che la definizione che conosco di punto di discontinuità è diversa da quella che conosci tu. Riporto la definizione che conosco:

Un punto x_0\in \mbox{dom}(f) (è un punto che appartiene al dominio) è di discontinuità se e solo se per definizione:

\lim_{x\to x_0^+}f(x)\ne \lim_{x\to x_0^-}f(x)

Quale definizione conosci di punto di discontinuità?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Roby95

Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo #41137

avt
Roby95
Punto
Una funzione non è continua in un punto x0 quando il valore da essa assunto è diverso dal valore del limite, cioè quando

\lim_{x\to x_0}{f(x)} \neq f(x_0)

Giusto?

Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo #41160

avt
Ifrit
Amministratore
Sì è corretto! Solo che come hai potuto notare, la tua funzione non è nemmeno definita in 0, cioè non sappiamo che valore assume.

Se la funzione fosse stata:

f(x)=\begin{cases}\frac{|x|}{\sin(x)}&\mbox{ se }x\ne 0\\ \alpha&\mbox{ se }x=0\end{cases}

allora avremmo potuto asserire che x= 0 è un punto di discontinuità perché f(0)=\alpha ma f(0^-)=\lim_{x\to 0^{-}}f(x)= -1 mentre f(0^+)=\lim_{x\to 0^+}f(x)= 1

0 è un punto di discontinuità indipendentemente dal valore che diamo ad \alpha.

In particolare poiché il limite destro e sinistro sono finiti, abbiamo una discontinuità a salto ed il salto vale:

s=|f(0^+)-f(0^-)|=|1+1|=2

Se l'esercizio è scritto come lo hai riportato allora la funzione non ha alcun punto di discontinuità, proprio perché non è definita in 0 (e in tutti gli altri punti in cui il seno si annulla!).

________________

Alcuni professori però dànno una definizione leggermente diversa. Non richiedono che il punto x_0 appartengo al dominio, è sufficiente che sia un punto di accumulazione per esso. In tal caso, secondo questa definizione:

x=k\pi \quad k\in \mathbb{Z}

sono tutti punti di discontinuità.

So di essere stato confusionario, ma la questione è delicata e dipende fortemente da come lo imposta il tuo professore :(
Ringraziano: Omega, Roby95

Re: Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo #41375

avt
Roby95
Punto
Ciao, grazie della risposta!

Scusa se ti ho fatto attendere ma ieri dovevo preparare un compito di italiano e ho avuto poco tempo per pensare ai limiti.

In realtà non c'è un'impostazione del mio professore: non sa spiegare e questo ci crea non pochi problemi nei compiti a casa...

Io credo di aver capito la tua spiegazione ma la perplessità mi viene quando si presenta un esercizio del genere:

y= \frac{1+\tan{\left(x\right)}}{\sin{\left(x\right)}}

Come risultati vengono posti k360^o\mbox{ e } 180^o+k360^o, non capisco la differenza tra le due funzioni che presentano entrambe il seno al denominatore..

Re: Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo #41421

avt
Omega
Amministratore
In questo caso i punti di discontinuità sono tutti di seconda specie: lo puoi vedere osservando che il denominatore si annulla proprio in corrispondenza dei punti del tipo x=2k\pi\mbox{ e }x=\pi+2k\pi. Non dobbiamo però preoccuparci solamente di tali punti(*).

Per periodicità, puoi limitarti a studiare la natura delle discontinuità in x=0 e in x=\pi.

In entrambi i casi devi, al solito, calcolare i due limiti sinistro e destro della funzione al tendere di x al punto considerato.

In entrambi i casi il numeratore è asintoticamente equivalente ad una quantità finita (1), il denominatore invece è un infinitesimo. A seconda che il limite venga calcolato da sinistra o da destra hai un infinitesimo di segno negativo e positivo, e il risultato del limite è di conseguenza un infinito con segno negativo / positivo.

(*)Dobbiamo tenere conto anche dei punti in cui non è definita la tangente, che sono della forma

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \ \ x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi

In corrispondenza di tali punti il denominatore è ben definito, ma non è definita la tangente. Calcolando i limiti da sinistra e da destra al tendere di x\to \frac{\pi}{2} e x\to \frac{3\pi}{2}, vedrai che anche in questo caso si ha a che fare con valori illimitati. Tali discontinuità sono di seconda specie.

Per il resto, si fa riferimento alla definizione di discontinuità di seconda specie presente nella lezione del link riportato nella prima risposta di Ifrit.
Ringraziano: Roby95

Re: Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo #41423

avt
Roby95
Punto
Ti ringrazio tantissimo per la risposta ma in realtà ho sbagliato a riportare l'esercizio...è:

\frac{1+\cos{\left(x\right)}}{\sin{\left(x\right)}}

Scusa ancora!

Re: Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo #41427

avt
Omega
Amministratore
Il ragionamento non cambia, devi solo tralasciare il discorso relativo alla tangente.
Ringraziano: Roby95

Re: Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo #41472

avt
Roby95
Punto
Sì ci sono in realtà con la seconda, ma il mio problema è più che altro il confronto tra entrambe.

Perché i due risultati sono diversi se comunque in entrambe le funzioni ho \sin(x) al denominatore? Cioè per entrambe non dovrebbe esserci discontinuità nei punti k360^o\mbox{ e }180^o+k360^o?

Grazie della pazienza

Re: Esercizio sui punti di discontinuità di una funzione con modulo #41481

avt
Omega
Amministratore
Il punto non è chi si trova dove: puoi avere due funzioni che presentano qualcosa in comune, ma ha poca importanza perché ciò che conta è la funzione in sé.

L'espressione della funzione, nella sua globalità, determina il comportamento della stessa.

Il tipo di discontinuità dipende dai valori del limite, e dalla valutazione della funzione nel punto.

Vuoi un'altra funzione che ha il seno a denominatore?

f(x)=\frac{\sin{(x)}}{\sin{(x)}}

che coincide con g(x)=1 su tutto \mathbb{R} ad eccezione dei punti del tipo x=k\pi, e che presenta in ciascuno di tali punti una discontinuità di terza specie.
Ringraziano: Roby95
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