Applicazione del teorema di derivazione della funzione composta con il cubo di una somma di funzioni

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Applicazione del teorema di derivazione della funzione composta con il cubo di una somma di funzioni #4108

avt
beps92
Cerchio
Ciao a tutti, stavo calcolando la derivata di una potenza con la formula per le derivate di funzioni composte, sarebbe l'esercizio XI di questa scheda di esercizi, cioè:

\frac{d}{dx}(sin({\pi}x)+x)^3


Allora: derivo la funzione più esterna

\frac{d}{dx}(sin({\pi}x)+x)^3=3(sin({\pi}x)+x)^2

poi calcolo la derivata di sin({\pi}x)+x=cos({\pi}x)+1, e poi rimane la funzione più interna che è {\pi}x e la cui derivata è {\pi}.

Moltiplicando le derivate però abbiamo:

\left(3(sin({\pi}x)+x)^2\right)\left(cos({\pi}x)+1\right)\pi

ed è quindi leggermente diverso dalla soluzione corretta. Dov'è che sbaglio?
 
 

Applicazione del teorema di derivazione della funzione composta con il cubo di una somma di funzioni #4111

avt
Omega
Amministratore
Ri-ciao Beps emt usiamo la formula per la derivata della funzione composta.

Quando derivi la potenza, ok:

(\sin{(\pi x)}+x)^3\cdot\ ...

prima hai

3(\sin{(\pi x)}+x)^2

Poi dobbiamo moltiplicare questo termine per la derivata della base, in accordo con il teorema

\frac{d}{dx}(\sin{(\pi x)}+x)

ed è qui l'errore che hai commesso: dovendo derivare una somma, possiamo equivalentemente calcolare la somma delle derivate (in accordo con le regole di derivazione)

\frac{d}{dx}[\sin{(\pi x)}]+\frac{d}{dx}[x]

Quindi hai

\frac{d}{dx}[\sin{(\pi x)}]=\cos{(\pi x)}\cdot \pi

e

\frac{d}{dx}[x]=1

Quindi

\frac{d}{dx}(\sin{(\pi x)}+x)=\pi\cos{(\pi x)}+1

e a derivata della funzione considerata è

\frac{d}{dx}(\sin{(\pi x)}+x)^3=3(\sin{(\pi x)}+x)^2[\pi\cos{(\pi x)}+1]

Ed abbiamo svelato l'arcano emt
Ringraziano: frank094, Ifrit, beps92
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