Applicazione del teorema di derivazione della funzione composta con il cubo di una somma di funzioni

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#4108
avt
beps92
Cerchio

Ciao a tutti, stavo calcolando la derivata di una potenza con la formula per le derivate di funzioni composte, sarebbe l'esercizio XI di questa scheda di esercizi, cioè:

(d)/(dx)(sin(πx)+x)^3

Allora: derivo la funzione più esterna

(d)/(dx)(sin(πx)+x)^3 = 3(sin(πx)+x)^2

poi calcolo la derivata di sin(πx)+x = cos(πx)+1, e poi rimane la funzione più interna che è πx e la cui derivata è π.

Moltiplicando le derivate però abbiamo:

(3(sin(πx)+x)^2)(cos(πx)+1)π

ed è quindi leggermente diverso dalla soluzione corretta. Dov'è che sbaglio?

#4111
avt
Omega
Amministratore

Ri-ciao Beps emt usiamo la formula per la derivata della funzione composta.

Quando derivi la potenza, ok:

(sin(π x)+x)^3· ...

prima hai

3(sin(π x)+x)^2

Poi dobbiamo moltiplicare questo termine per la derivata della base, in accordo con il teorema

(d)/(dx)(sin(π x)+x)

ed è qui l'errore che hai commesso: dovendo derivare una somma, possiamo equivalentemente calcolare la somma delle derivate (in accordo con le regole di derivazione)

(d)/(dx)[sin(π x)]+(d)/(dx)[x]

Quindi hai

(d)/(dx)[sin(π x)] = cos(π x)·π

e

(d)/(dx)[x] = 1

Quindi

(d)/(dx)(sin(π x)+x) = πcos(π x)+1

e a derivata della funzione considerata è

(d)/(dx)(sin(π x)+x)^3 = 3(sin(π x)+x)^2[πcos(π x)+1]

Ed abbiamo svelato l'arcano emt

Ringraziano: frank094, Ifrit, beps92
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