Derivata composta di funzione con logaritmo e radice

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Derivata composta di funzione con logaritmo e radice #4096

avt
beps92
Cerchio
Ciao, qualcuno potrebbe darmi una mano con la derivata composta di una funzione logaritmica con una radice nell'argomento? A me viene un risultato, al calcolatore un altro, su YouMath ce n'è un altro ancora emt

f(x)=ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

è la numero 10 della pagina di esercizi beginner sulla derivata della funzione composta. emt
Grazieee!
 
 

Derivata composta di funzione con logaritmo e radice #4097

avt
frank094
Maestro
Ciao Beps,

potresti postare il link alla pagina di YouMath che contiene l'esercizio? Io non sono riuscito a trovarlo e, se vediamo che il risultato è errato, si può intervenire il prima possibile emt.

Edit: grazie! Ho appena visto che hai linkato la pagina.

f(x) = \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

Il teorema di derivazione composta è necessario, infatti dobbiamo impostare le funzioni come segue

h(x) = \ln{(x)}

g(x) = x + \sqrt{1 + x^2}

La formula di derivazione composta ci dice che

f'(x) = h'(g(x)) g'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{d}{dx} \mbox{ } [g(x)]

Anche la funzione g(x) deve essere derivata con la formula di composizione ( almeno per il termine con la radice ) .. il passaggio lo salto ora, ma se ne hai bisogno fammi sapere emt

f'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \right)

f'(x) = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}(x + \sqrt{1 + x^2})}

f'(x) = \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}(x + \sqrt{1 + x^2)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}

Ti torna? Come puoi vedere il risultato qui su YouMath è corretto emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Derivata composta di funzione con logaritmo e radice #4100

avt
beps92
Cerchio
aaaah occheeei emt

mi ero "dimenticato" proprio di derivare la radice con la formula di composizione, e ho agito come se la funzione all'interno di essa fosse una sola incognita... cosa non lecita, giusto?
se avessi \sqrt{x} la derivata sarebbe \frac {1}{2\sqrt{x}}

ma se ho

\sqrt{f(x)} la derivata non è \frac {1}{2\sqrt{f(x)}},

perchè in base al teorema in questione dovrebbe essere... uhm..

\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}f'(x)

giusto? emt

Derivata composta di funzione con logaritmo e radice #4101

avt
frank094
Maestro
Esattamente emt.
Ringraziano: Omega, beps92

Derivata composta di funzione con logaritmo e radice #4102

avt
beps92
Cerchio
grazie emt cmq il calcolatore mi ha solo dato il risultato in un'altra forma, non semplificato... ma alla fine era quello
Ringraziano: frank094
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Os