Limite del rapporto tra superfici di solidi di rotazione

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Limite del rapporto tra superfici di solidi di rotazione #40704

avt
JohnnyR
Cerchio
Buonasera a tutti! Ho un problema di geometria in cui dobbiamo calcolare le aree delle superfici di rotazione e un limite.

Sono consapevole di essere estremamente stressante ma io x questo tipo di problemi non s da dove partire!

Considerato un punto P sulla semicirconferenza di diametro AB=2r, detta x l'ampiezza dell'angolo PAB determinare il limite pr x--->0 del rapporto tra le superfici dei solidi generati dal segmento AP e dall'arco PB in una rotazione completa attorno ad AB.

risultato S.:+infinito

grazie!!
 
 

Limite del rapporto tra superfici di solidi di rotazione #40737

avt
Ifrit
Amministratore
Acciderbolina, ho completamente dimenticato questa discussione! =(

In riferimento alla figura:

triangoloeserciziogeometrico_2012 11 30



sappiamo che:

AB= 2r, inoltre il triangolo ABP è rettangolo in P questo perché è un triangolo inscritto in una semicirconferenza!


Grazie ai teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo asserire che:

PB= AB\sin(x)= 2r \sin(x)

mentre

AP= AB\cos(x)=2r\cos(x)

Applichiamo ora i teoremi sul triangolo rettangolo di vertici APH così da determinare PH:

PH= AP \sin(x)= 2r\sin(x)\cos(x)

Il solido di rotazione ottenuto ruotando intorno all'asse AB è un cono con apotema AP e raggio di base PH

La superficie laterale del cono è data da:

S_{cono}= \pi\cdot PH\cdot AP=

= 4\pi r^2\sin(x)\cos^2(x)


Facendo ruotare l'arco \widehat{PB} intorno all'asse AB otterremo una calotta sferica di altezza HB

è

S_{calotta}= 2\pi r\cdot HB

Dove

HB= AB-AH= 2r-AP\cos(x)= 2r-2r \cos^2(x)=

 =2r(1-\cos^2(x))=

di conseguenza:

S_{calotta}= 4\pi r^2(1-\cos^2(x))

Il rapporto tra le superfici è:

\frac{S_{cono}}{S_{calotta}}= \frac{4\pi r^2\sin(x)\cos^2(x)}{4\pi r^2\sin^2(x)}

semplificando in modo opportuno:

\frac{S_{cono}}{S_{calotta}}= \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}

e quando x tende a zero il quoziente tende a + infinito! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, JohnnyR
  • Pagina:
  • 1
Os