Limite del rapporto tra superfici di solidi di rotazione

Buonasera a tutti! Ho un problema di geometria in cui dobbiamo calcolare le aree delle superfici di rotazione e un limite.

Sono consapevole di essere estremamente stressante ma io x questo tipo di problemi non s da dove partire!

Considerato un punto P sulla semicirconferenza di diametro AB=2r, detta x l'ampiezza dell'angolo PAB determinare il limite pr x--->0 del rapporto tra le superfici dei solidi generati dal segmento AP e dall'arco PB in una rotazione completa attorno ad AB.

risultato S.:+infinito

grazie!!

Acciderbolina, ho completamente dimenticato questa discussione! =(

In riferimento alla figura:




sappiamo che:

, inoltre il triangolo ABP è rettangolo in P questo perché è un triangolo inscritto in una semicirconferenza!


Grazie ai teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo asserire che:



mentre



Applichiamo ora i teoremi sul triangolo rettangolo di vertici APH così da determinare PH:



Il solido di rotazione ottenuto ruotando intorno all'asse AB è un cono con apotema e raggio di base

La superficie laterale del cono è data da:






Facendo ruotare l'arco intorno all'asse AB otterremo una calotta sferica di altezza

è



Dove





di conseguenza:



Il rapporto tra le superfici è:



semplificando in modo opportuno:



e quando x tende a zero il quoziente tende a + infinito!