Studio del denominatore per il dominio di una funzione

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Studio del denominatore per il dominio di una funzione #40669

avt
mazzeo
Punto
Ciao a tutti!

Da poco studio le funzioni (ancora basilarmente), mi sono imbattuto in questo funzione della quale mi si chiede come prima cosa il calcolo del dominio.


y = 2+|x|/|2x^{2}-1|

Essendo una funzione fratta, si impone il denominatore diverso da 0 e fin qui ci sono.
Purtroppo una volta fatta l'imposizione non so continuare, perdonate la mia ignoranza emt
 
 

Studio del denominatore per il dominio di una funzione #40692

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Mazzeo, ti do il benvenuto nel forum di YouMath! emt

Si hai ragione, per determinare il dominio, dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero, dobbiamo richiedere quindi che:

|2x^2-1|\ne 0

Poiché il valore assoluto è una funzione non negativa ed è nulla se e solo se il suo argomento è zero, dobbiamo pretendere che:

2x^2-1\ne 0\iff x^2\ne \frac{1}{2}

Da cui:

x\ne -\frac{1}{\sqrt{2}}\vee x\ne \frac{1}{\sqrt{2}}

Il dominio è quindi \mathbb{R}\setminus\{\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\}

Se hai dubbi, chiedi pure emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Studio del denominatore per il dominio di una funzione #40696

avt
mazzeo
Punto
Il dominio è proprio quello ti ringrazio, chiarissimo! emt

Ultima domanda:

(2+|x|)(|2x^{2}-1|) > 0

Seguendo le formule che ho studiato il risultato dovrebbe essere di questo tipo:

A(x)<-k v A(x)>k

Ma se c'è lo zero come applico questa formula?

Studio del denominatore per il dominio di una funzione #40706

avt
Omega
Amministratore
Ciao emt

Lascia stare le formule, e procedi studiando il segno dei due fattori:

- prima studi il segno di (2+|x|), e quindi risolvi la disequazione con modulo

2+|x|>0

- poi studi il segno di |2x-1|, e risolvi

|2x^2-1|>0

...ANZI, NO! emt Il valore assoluto di una quantità è una quantità non negativa, quindi o è positiva o è nulla. In particolare, è nulla solamente quando è nullo il suo argomento. Indi per cui |2x^2-1|>0 ha come soluzioni tutte le x\neq \pm\frac{1}{\sqrt{2}}.

La disequazione complessiva si riduce quindi a

2+|x|>0

da risolvere su x\neq \pm\frac{1}{\sqrt{2}}.

Riscrivendola come

|x|>-2

vediamo che è sempre verificata, perché il modulo di x è sempre maggiore di un numero negativo.

Morale: la disequazione

(2+|x|)|2x^2-1|>0

ha soluzioni date da \mathbb{R}-\left{\frac{1}{\sqrt{2}}\right}.
Ringraziano: Pi Greco
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Os