Equivalente asintotico di una funzione esponenziale

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Equivalente asintotico di una funzione esponenziale #40640

avt
Satiro
Frattale
Ciao a tutti,

ho bisogno di una mano per determinare una stima asintotica di una funzione esponenziale per x\to 0.

La funzione è

f(x)=e^{x(1-\cos(x))}-1\mbox{ per }x\to 0

Grazie.
 
 

Equivalente asintotico di una funzione esponenziale #40652

avt
Omega
Amministratore
Ciao Satiro,

l'esercizio chiede di trovare un asintotico equivalente alla funzione esponenziale

f(x)=e^{x(1-\cos(x))}-1\mbox{ per }x\to 0

Per x\to 0 l'esponente della funzione esponenziale è un infinitesimo, infatti

\lim_{x\to 0}x(1-\cos(x))=0

Il limite notevole generale dell'esponenziale

\lim_{g(x)\to 0}\frac{e^{g(x)}-1}{g(x)}=1

ci permette di costruire l'equivalente asintotico:

e^{g(x)}-1\sim_{g(x)\to 0}g(x)

Nel nostro caso g(x)=x(1-\cos(x)), conseguentemente

e^{x(1-\cos(x))}-1\sim_{x\to 0}x(1-\cos(x))

L'esercizio non è terminato, possiamo essere più precisi e per farlo determineremo gli asintotici equivalenti associati a ciascun fattore del prodotto x(1-\cos(x)).

Poiché l'equivalenza asintotica è una relazione di equivalenza, essa gode della proprietà riflessiva pertanto

x\sim_{x\to 0}x

Inoltre il limite notevole del coseno

\lim_{h(x)\to 0}\frac{1-\cos(h(x))}{h^2(x)}=\frac{1}{2}

ci suggerisce che 1-\cos(h(x)) è asintoticamente equivalente a \frac{h^2(x)}{2} quando h(x)\to 0. Pertanto

1-\cos(x)\sim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}

Perfetto, abbiamo gli elementi per determinare una stima asintotica associata al prodotto x(1-\cos(x)):

x(1-\cos(x))\sim_{x\to 0}x\cdot \frac{x^2}{2}

Per la proprietà transitiva di cui gode l'equivalenza asintotica possiamo concludere che

e^{x(1-\cos(x))}-1\sim_{x\to 0}x(1-\cos(x))\sim_{x\to 0}x\cdot \frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{2}

L'esercizio è concluso. emt
Ringraziano: Pi Greco

Re: Equivalente asintotico di una funzione esponenziale #40749

avt
Satiro
Frattale
Grazie mille, gentilissimo come sempre. emt
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Os