Problema con discussione di una funzione goniometrica

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Problema con discussione di una funzione goniometrica #40509

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti! Ho un problema dove bisogna effettuare una discussione per una funzione goniometrica. Eccolo:

data la funzione

f(x)=\sqrt{3}\sin{\left(4x\right)}+\cos{\left(2x\right)}

a) Determinare il periodo di f(x).

b) Verificare che |f(x)|=2 per x=\frac{\pi}{3}.

c) Scrivere l'espressione della funzione nella forma:

y=A\cos{\left(2x\right)}(B\sin{\left(2x\right)+C)}

d) Stabilire se i punti di ascissa x=\frac{\pi}{4} e x=\frac{5}{2}\pi sono punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse x.

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente!
 
 

Problema con discussione di una funzione goniometrica #40523

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao drago95,

consideriamo la funzione goniometrica

f(x)=\sqrt{3}\sin(4x)+\cos(2x)

a) Per calcolare il periodo della funzione goniometrica f(x) osserviamo che essa è somma di due funzioni periodiche. Il primo addendo è la funzione seno

h(x)=\sqrt{3}\sin(4x)

che si presenta nella forma y=A\sin(\omega x) e il cui periodo si ricava mediante la formula

T_{h}=\frac{2\pi}{|\omega|}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}

dove |\omega| è il valore assoluto del coefficiente di x.

Il secondo addendo è la funzione coseno

k(x)=\cos(2x)

Essa si presenta nella forma y=A\cos(\omega x) e il suo periodo è dato da

T=\frac{2\pi}{|\omega|}

di conseguenza il periodo associato alla funzione k(x) è

T_{k}=\frac{2\pi}{|2|}=\pi

Osserviamo che il rapporto tra i periodi è un numero razionale diverso da 1

\frac{T_{h}}{T_{k}}=\frac{\frac{\pi}{2}}{\pi}=\frac{1}{2}\in\mathbb{Q}-\{1\}

pertanto il periodo di f(x), somma di h(x)\ \mbox{e}\  k(x), è dato dal minimo comune multiplo tra i due periodi

T_{f}=\mbox{mcm}(T_{h},T_{k})=\mbox{mcm}\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)=

Per calcolare il minimo comune multiplo, scriviamo di due periodi a denominatore comune

=\mbox{mcm}\left(\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{2}\right)=

calcoliamo il minimo comune multiplo tra i numeratori e semplifichiamo in modo opportuno

=\frac{\mbox{mcm}(\pi, 2\pi)}{2}=\frac{2\pi}{2}=\pi

e concludiamo che il periodo della somma delle funzioni periodiche date è T_{f}=\pi.

b) Per rispondere al secondo quesito è sufficiente valutare la funzione per x=\frac{\pi}{3}

\\ f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\sin\left(\frac{4}{3}\pi\right)+\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=

e utilizzare le formule degli archi associati così da ricondurci ai valori di seno e coseno riferiti al primo quadrante

\\ =\sqrt{3}\sin\left(\frac{3}{3}\pi+\frac{\pi}{3}\right)+ \cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=\\ \\ \\ =\sqrt{3}\sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)+ \cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=

In accordo con le formule sugli archi associati scriviamo:

\sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

mentre dalla tabella dei valori notevoli di seno e coseno ricaviamo

\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)=-\frac{1}{2}

di conseguenza

\\ f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)= \\ \\ \\ =-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2

e in base alla definizione di valore assoluto concludiamo che

\left|f\left(\frac{\pi}{3}\right)\right|=|-2|=2

c) Le formule di duplicazione garantiscono l'uguaglianza

\sin(4x)= 2\sin(2x)\cos(2x) \ \ \ \mbox{per ogni}\ x \in\mathbb{R}

mediante la quale la funzione si esprime come

\\ f(x)=\sqrt{2}\sin(4x)+\cos(2x)=\\ \\ = 2\sqrt{2}\sin(2x)\cos(2x)+\cos(2x)=\\ \\ =\cos(2x)(2\sqrt{2}\sin(2x)+1)

da cui si evince che A=1, \ B=2\sqrt{2}\ \mbox{e} \ C=1.

d) basta valutare la funzione nei due punti e se ricaviamo 0 allora sono le ascisse dei punti di intersezione con l'asse x. Chiaramente è necessario conoscere i valori notevoli del seno e del coseno.

Per x=\frac{\pi}{4} la funzione vale

\\ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{3}\sin\left(4\cdot\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)= \\ \\ \\ =\sqrt{3}\sin(\pi)+\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

Per x=\frac{5\pi}{2} otteniamo invece

\\ f\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\sqrt{3}\sin\left(4\cdot\frac{5\pi}{2}\right)+\cos\left(2\cdot\frac{5\pi}{2}\right)=\\ \\ \\ =\sqrt{3}\sin(10 \pi)+\cos(5\pi)=-1

Poiché abbiamo ottenuto un valore diverso da 0, possiamo concludere che x=\frac{5\pi}{2} non è l'ascissa di alcun punto di intersezione con l'asse x.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os