Problema con discussione di una funzione goniometrica

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Problema con discussione di una funzione goniometrica #40509

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti! Ho un problema dove bisogna effettuare una discussione per una funzione goniometrica. Eccolo:

data la funzione

f(x) = √(3)sin(4x)+cos(2x)

a) Determinare il periodo di f(x).

b) Verificare che |f(x)| = 2 per x = (π)/(3).

c) Scrivere l'espressione della funzione nella forma:

y = Acos(2x)(Bsin((2x)+C))

d) Stabilire se i punti di ascissa x = (π)/(4) e x = (5)/(2)π sono punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse x.

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente!
 
 

Problema con discussione di una funzione goniometrica #40523

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao drago95,

consideriamo la funzione goniometrica

f(x) = √(3)sin(4x)+cos(2x)

a) Per calcolare il periodo della funzione goniometrica f(x) osserviamo che essa è somma di due funzioni periodiche. Il primo addendo è la funzione seno

h(x) = √(3)sin(4x)

che si presenta nella forma y = Asin(ω x) e il cui periodo si ricava mediante la formula

T_(h) = (2π)/(|ω|) = (2π)/(4) = (π)/(2)

dove |ω| è il valore assoluto del coefficiente di x.

Il secondo addendo è la funzione coseno

k(x) = cos(2x)

Essa si presenta nella forma y = Acos(ω x) e il suo periodo è dato da

T = (2π)/(|ω|)

di conseguenza il periodo associato alla funzione k(x) è

T_(k) = (2π)/(|2|) = π

Osserviamo che il rapporto tra i periodi è un numero razionale diverso da 1

(T_(h))/(T_(k)) = ((π)/(2))/(π) = (1)/(2)∈Q-1

pertanto il periodo di f(x), somma di h(x) e k(x), è dato dal minimo comune multiplo tra i due periodi

T_(f) = mcm(T_(h),T_(k)) = mcm((π)/(2),π) =

Per calcolare il minimo comune multiplo, scriviamo di due periodi a denominatore comune

= mcm((π)/(2),(2π)/(2)) =

calcoliamo il minimo comune multiplo tra i numeratori e semplifichiamo in modo opportuno

= (mcm(π, 2π))/(2) = (2π)/(2) = π

e concludiamo che il periodo della somma delle funzioni periodiche date è T_(f) = π.

b) Per rispondere al secondo quesito è sufficiente valutare la funzione per x = (π)/(3)

f((π)/(3)) = √(3)sin((4)/(3)π)+cos((2)/(3)π) =

e utilizzare le formule degli archi associati così da ricondurci ai valori di seno e coseno riferiti al primo quadrante

= √(3)sin((3)/(3)π+(π)/(3))+cos((2)/(3)π) = √(3)sin(π+(π)/(3))+cos((2)/(3)π) =

In accordo con le formule sugli archi associati scriviamo:

sin(π+(π)/(3)) = -sin((π)/(3)) = -(√(3))/(2)

mentre dalla tabella dei valori notevoli di seno e coseno ricaviamo

cos((2)/(3)π) = -(1)/(2)

di conseguenza

f((π)/(3)) = √(3)(-(√(3))/(2))+(-(1)/(2)) = -(3)/(2)-(1)/(2) = -2

e in base alla definizione di valore assoluto concludiamo che

|f((π)/(3))| = |-2| = 2

c) Le formule di duplicazione garantiscono l'uguaglianza

sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) per ogni x ∈R

mediante la quale la funzione si esprime come

f(x) = √(2)sin(4x)+cos(2x) = 2√(2)sin(2x)cos(2x)+cos(2x) = cos(2x)(2√(2)sin(2x)+1)

da cui si evince che A = 1, B = 2√(2) e C = 1.

d) basta valutare la funzione nei due punti e se ricaviamo 0 allora sono le ascisse dei punti di intersezione con l'asse x. Chiaramente è necessario conoscere i valori notevoli del seno e del coseno.

Per x = (π)/(4) la funzione vale

f((π)/(4)) = √(3)sin(4·(π)/(4))+cos(2·(π)/(4)) = √(3)sin(π)+cos((π)/(2)) = 0

Per x = (5π)/(2) otteniamo invece

f((5π)/(2)) = √(3)sin(4·(5π)/(2))+cos(2·(5π)/(2)) = √(3)sin(10 π)+cos(5π) = -1

Poiché abbiamo ottenuto un valore diverso da 0, possiamo concludere che x = (5π)/(2) non è l'ascissa di alcun punto di intersezione con l'asse x.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os