Discussione di un problema di Geometria con i limiti

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Discussione di un problema di Geometria con i limiti #40451

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti potreste aiutarmi con la discussione di un problema di Geometria con i limiti? Possibilmente utilizzando gli argomenti del triennio...

Data una circonferenza di diametro AC=2r e centro O, tracciare la semiretta uscente da A, perpendicolare ad AC e giacente rispetto ad AC dalla stessa parte della semicirconferenza. Detto M un punto generico su tale semiretta, indicare con x la distanza di M da A. Da M staccare l'ulteriore tangente in B alla semicirconferenza. Detta K l'intersezione della semicirconferenza con il segmento OM, determinare l'area y del quadrilatero ACBK in funzione di x. Determinare il valore di y per x tendente a +infinito.

Risultati: y=[r^2x(r+ sqrtx^2+r^2)]/x^2+r^2

lim y = r^2

Grazie! emt
 
 

Discussione di un problema di Geometria con i limiti #40463

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao JohnnyR!

Costruisci la figura:


areaquadrilatero



Dobbiamo calcolare l'area del quadrilatero ACBK, però prima dobbiamo fare alcune considerazioni geometriche. Grazie al teorema delle tangenti:

"I segmenti di tangente, condotti da un punto esterno a una circonferenza e compresi tra tale punto e quelli di contatto, sono congruenti"

abbiamo che AM = MB ed inoltre gli angoli A hatOK e K hatOB sono congruenti.

Chiamiamo questi angoli α di conseguenza, l'angolo C hatOB = π-2α


Ora possiamo calcolare l'area del quadrilatero AKBC , sommando le aree dei triangoli:

AOK, KOB, BOC

e per farlo utilizzeremo il teorema dell'area di un triangolo qualsiasi, abbiamo che:

A_(AOK) = (r^2)/(2)sin(α)

A_(KOB) = (r^2)/(2)sin(α)

A_(BOC) = (r^2)/(2)sin(π-2α)

Ora per il primo teorema sui triangoli rettangoli applicato al triangolo rettangolo OAM, abbiamo che:

AM = OMsin(α) ⇔ x = OMsin(α)

ora nota che OM è l'ipotenusa del triangolo rettangolo AMO che possiamo calcolare con il teorema di Pitagora:

OM = √(AO^2+AM^2) = √(r^2+x^2)


conseguentemente:

x = √(r^2+x^2)sin(α) ⇒ sin(α) = (x)/(√(r^2+x^2))

Inoltre per il teorema fondamentale della goniometria abbiamo che:

cos(α) = √(1-(x^2)/(r^2+x^2)) = (r)/(√(r^2+x^2))

di conseguenza:

sin(π-2α) = sin(2α) = 2sin(α)cos(α) =

2·(x)/(√(r^2+x^2))·(r)/(√(r^2+x^2)) =


(2x r)/(r^2+x^2)

L'area del quadrilatero è quindi:

A(x) = r^2sin(α)+(r^2)/(2)sin(π-2α) =

= r^2·(x)/(√(r^2+x^2))+(x r^3)/(r^2+x^2)

mettendo in evidenza r^2 x

= r^2x((1)/(√(r^2+x^2))+(r)/(r^2+x^2))

= r^2x((√(r^2+x^2)+r)/(r^2+x^2))


A questo punto, calcoliamo il limite:

lim_(x → ∞)r^2x((√(r^2+x^2)+r)/(r^2+x^2))

lim_(x → ∞)r^2x(|x|(√((r^2)/(x^2)+1)+(r)/(x))/(x^2 ((r^2)/(x^2)+1)))

poiché x tende a più infinito, il valore assoluto è superfluo perché x è definitivamente positivo:

lim_(x → ∞)r^2x(x(√((r^2)/(x^2)+1)+(r)/(x))/(x^2 ((r^2)/(x^2)+1)))


Semplificando in modo opportuno:

lim_(x → ∞)r^2((√((r^2)/(x^2)+1)+(r)/(x))/((r^2)/(x^2)+1)) = r^2
Ringraziano: Omega, LittleMar, JohnnyR, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os