Verificare limite fratto con la definizione, esercizio

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Verificare limite fratto con la definizione, esercizio #40443

avt
Cima
Punto
Buonasera, innanzitutto sono nuovo e devo dire che questo sito è fatto veramente molto bene, complimenti.

Passiamo ora ai miei dubbi matematici: mi servirebbe aiuto per verificare il limite di questa funzione fratta:

\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x}{x+1}=-2

Grazie mille!
 
 

Verificare limite fratto con la definizione, esercizio #40453

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio chiede di verificare il

\lim_{x\to +\infty}\frac{-2x}{x+1}=-2

utilizzando la definizione opportuna.

In base alla definizione di limite dobbiamo dimostrare che per ogni \varepsilon>0 esiste un numero reale M>0 tale che se x\in Dom e x>M allora

\left|-\frac{2x}{x+1}-(-2)\right|<\varepsilon

Risolviamo la disequazione rispetto all'incognita x, eseguendo preventivamente alcuni passaggi algebrici

\\ \left|\frac{-2x+2(x+1)}{x+1}\right|<\varepsilon \\ \\ \\ \left|\frac{-2x+2x+2}{x+1}\right|<\varepsilon \\ \\ \\ \left|\frac{2}{x+1}\right|<\varepsilon

Passiamo ai reciproci membro a membro ricordandoci di cambiare il verso della disequazione

\left|\frac{1+x}{2}\right|>\frac{1}{\varepsilon}

In accordo con la teoria delle disequazioni con valore assoluto scriviamo

\frac{1+x}{2}<-\frac{1}{\varepsilon}\vee \frac{1+x}{2}>\frac{1}{\varepsilon}

Moltiplichiamo i membri della seconda disequazione per 2:

1+x>\frac{2}{\varepsilon}

e sottraendo membro a membro per 1 giungiamo alla disequazione

x>\frac{2}{\varepsilon}-1

Se prendiamo M=\frac{2}{\varepsilon}-1 abbiamo finito, perché abbiamo determinato l'M che realizza la definizione di limite.

Nota: in questa circostanza la disequazione

\frac{1+x}{2}<-\frac{1}{\varepsilon}

non ci serve, infatti nella definizione di limite utilizzata compare una disequazione del tipo x > M e non del tipo x < -M.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Cima

Re: Verificare limite fratto con la definizione, esercizio #40538

avt
Cima
Punto
Grazie mille! Molto utile, preciso.. Che dire..

CONTINUATE COSI' emt
Ringraziano: Omega
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Os