Verificare limite fratto con la definizione, esercizio

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Verificare limite fratto con la definizione, esercizio #40443

Cima Punto	Buonasera, innanzitutto sono nuovo e devo dire che questo sito è fatto veramente molto bene, complimenti. Passiamo ora ai miei dubbi matematici: mi servirebbe aiuto per verificare il limite di questa funzione fratta: $\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x}{x+1}=-2$ Grazie mille!

Verificare limite fratto con la definizione, esercizio #40453

Ifrit

Ambasciatore

L'esercizio chiede di verificare il

$\lim_{x\to +\infty}\frac{-2x}{x+1}=-2$

utilizzando la definizione opportuna.

In base alla definizione di limite dobbiamo dimostrare che per ogni $\varepsilon>0$ esiste un numero reale

tale che se $x\in Dom$ e

allora

$\left|-\frac{2x}{x+1}-(-2)\right|<\varepsilon$

Risolviamo la disequazione rispetto all'incognita

, eseguendo preventivamente alcuni passaggi algebrici

$\\ \left|\frac{-2x+2(x+1)}{x+1}\right|<\varepsilon \\ \\ \\ \left|\frac{-2x+2x+2}{x+1}\right|<\varepsilon \\ \\ \\ \left|\frac{2}{x+1}\right|<\varepsilon$

Passiamo ai reciproci membro a membro ricordandoci di cambiare il verso della disequazione

$\left|\frac{1+x}{2}\right|>\frac{1}{\varepsilon}$

In accordo con la teoria delle disequazioni con valore assoluto scriviamo

$\frac{1+x}{2}<-\frac{1}{\varepsilon}\vee \frac{1+x}{2}>\frac{1}{\varepsilon}$

Moltiplichiamo i membri della seconda disequazione per 2:

$1+x>\frac{2}{\varepsilon}$

e sottraendo membro a membro per 1 giungiamo alla disequazione

$x>\frac{2}{\varepsilon}-1$

Se prendiamo $M=\frac{2}{\varepsilon}-1$ abbiamo finito, perché abbiamo determinato l'

che realizza la definizione di limite.

Nota: in questa circostanza la disequazione

$\frac{1+x}{2}<-\frac{1}{\varepsilon}$

non ci serve, infatti nella definizione di limite utilizzata compare una disequazione del tipo

e non del tipo

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Cima

Re: Verificare limite fratto con la definizione, esercizio #40538

Cima Punto	Grazie mille! Molto utile, preciso.. Che dire.. CONTINUATE COSI'
	Ringraziano: Omega

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