Verificare limite fratto con la definizione, esercizio

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Verificare limite fratto con la definizione, esercizio #40443

avt
Cima
Punto
Buonasera, innanzitutto sono nuovo e devo dire che questo sito è fatto veramente molto bene, complimenti.

Passiamo ora ai miei dubbi matematici: mi servirebbe aiuto per verificare il limite di questa funzione fratta:

lim_(x → +∞)(-2x)/(x+1) = -2

Grazie mille!
 
 

Verificare limite fratto con la definizione, esercizio #40453

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio chiede di verificare il

lim_(x → +∞)(-2x)/(x+1) = -2

utilizzando la definizione opportuna.

In base alla definizione di limite dobbiamo dimostrare che per ogni ε > 0 esiste un numero reale M > 0 tale che se x∈ Dom e x > M allora

|-(2x)/(x+1)-(-2)| < ε

Risolviamo la disequazione rispetto all'incognita x, eseguendo preventivamente alcuni passaggi algebrici

 |(-2x+2(x+1))/(x+1)| < ε ; |(-2x+2x+2)/(x+1)| < ε ; |(2)/(x+1)| < ε

Passiamo ai reciproci membro a membro ricordandoci di cambiare il verso della disequazione

|(1+x)/(2)| > (1)/(ε)

In accordo con la teoria delle disequazioni con valore assoluto scriviamo

(1+x)/(2) < -(1)/(ε) ∨ (1+x)/(2) > (1)/(ε)

Moltiplichiamo i membri della seconda disequazione per 2:

1+x > (2)/(ε)

e sottraendo membro a membro per 1 giungiamo alla disequazione

x > (2)/(ε)-1

Se prendiamo M = (2)/(ε)-1 abbiamo finito, perché abbiamo determinato l'M che realizza la definizione di limite.

Nota: in questa circostanza la disequazione

(1+x)/(2) < -(1)/(ε)

non ci serve, infatti nella definizione di limite utilizzata compare una disequazione del tipo x > M e non del tipo x < -M.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Cima, umbria

Re: Verificare limite fratto con la definizione, esercizio #40538

avt
Cima
Punto
Grazie mille! Molto utile, preciso.. Che dire..

CONTINUATE COSI' emt
Ringraziano: Omega
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Os