Verifica di un limite finito con due moduli sulla funzione

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Verifica di un limite finito con due moduli sulla funzione #40400

avt
LaShonda
Punto
Ragazzi, scusatemi è urgentissimo perché credo che domani ci sarà un compito in classe, mi aiutate a verificare questo limite con due moduli?

\lim_{x\to 3}(|x+1|-|1-x|)=2

Da come lo ho fatto, ridà un

x > 1-\frac{\varepsilon}{2} con x\ne 1 ma essendo un limite finito non credo si possa verificare per un intervallo \left(1-\frac{\varepsilon}{2}; +\infty\right).

Vi prego di aiutarmi.
 
 

Re: Verifica di un limite finito con due moduli sulla finzione #40402

avt
Omega
Amministratore
La verifica del limite

\lim_{x\to 3}(|x+1|-|1-x|)=2

richiede di conoscere il metodo di verifica dei limiti finiti per x tendente ad un valore finito (how to nella scheda di esercizi), ma non solo. Richiede anche di sapere leggere i risultati analiticamente.

Prendiamo un \varepsilon>0 e imponiamo

|f(x)-L|<\varepsilon

vale a dire

||x+1|-|1-x|-2|<\varepsilon

A noi interessa la verifica del limite per x\to 3: possiamo eliminare i moduli osservando che

- se x+1>0, ossia x>-1, allora |x+1|=+(x+1);

- se 1-x<0, ossia x>+1, allora |1-x|=-(x+1);

Se mettiamo a sistema le due condizioni

\begin{cases}x>-1\\ x>+1\end{cases}\Rightarrow x>+1

siamo sulla strada giusta, perché il valore cui tende la x è 3 e 3\in (1,+\infty). Possiamo disinteressarci degli altri casi.

\\ |+(x+1)-[-(1-x)]-2|< \varepsilon \\ \\ |x+1+1-x-2|< \varepsilon

Otteniamo

0< \varepsilon

disequazione che è sempre verificata per x>1 o scritto nel linguaggio degli intervalli x\in (1, +\infty). Esso rappresenta certamente un intorno del punto x_0=3 e dunque la definizione di limite è soddisfatta.

Comunque si fissi un intorno di L=2, \ V_{L}, infatti, possiamo considerare come intorno di x_{0}=3 l'intervallo I_{x_0}=(1,+\infty), e per ogni x\in I_{x_0} si ha che

f(x)\in V_{L}

Strano? Non troppo: basta guardare il grafico della funzione

Verifica limite funzione con due valori assoluti


f(x)=|x+1|-|1-x| vale 2 per ogni x>+1.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, LaShonda

Re: Verifica di un limite finito con due moduli sulla finzione #40404

avt
LaShonda
Punto
Grazie amico e soprattutto mi sa che ho fatto qualche errore di calcolo comunque il problema è che non sapevo che un limite finito potesse verificarsi in un intervallo aperto emt Grazie di nuovo per avermi chiarito anche questo dubbio!
Ringraziano: Omega

Re: Verifica di un limite finito con due moduli sulla finzione #40405

avt
Omega
Amministratore
Di niente! emt
  • Pagina:
  • 1
Os