Esercizio di calcolo dei limiti con i limiti notevoli

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Esercizio di calcolo dei limiti con i limiti notevoli #39897

avt
Elshaa
Cerchio
Vorrei avere un chiarimento a proposito del calcolo di questi limiti con i limiti notevoli:

\\ 1)\ \ \lim_{x\to -2}\frac{e^{2x+4}-1}{x+2}\\ \\ \\ 2)\ \ \lim_{x\to 0}\frac{e^{-4x}-1}{x^2-x}\\ \\ \\ 3)\ \ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{7x}

Grazie mille in anticipo!
 
 

Esercizio di calcolo dei limiti con i limiti notevoli #39901

avt
Ifrit
Amministratore
Cominciamo con il limite 1)

\lim_{x\to -2}\frac{e^{2x+4}-1}{x+2}=

e riscriviamolo in forma equivalente raccogliendo totalmente il 2 all'esponente

=\lim_{x\to -2}\frac{e^{2(x+2)}-1}{x+2}=

Poniamo y=x+2 ed osserviamo quando x\to -2 si ha che la variabile y\to 0. Procedendo per sostituzione il limite si riscrive come

=\lim_{y\to 0}\frac{e^{2y}-1}{y}=(\bullet\bullet)

Ricordiamo ora il limite notevole dell'esponenziale

\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1

Dobbiamo ricondurci a questo limite facendo in modo che il denominatore sia uguale all'esponente dell'esponenziale.

Guardiamo con attenzione il

\lim_{y\to 0}\frac{e^{2y}-1}{y}

L'esponente dell'esponenziale è 2y mentre il denominatore è y: ci serve semplicemente un 2 al denominatore per ricondurci al limite notevole. Per farlo apparire moltiplichiamo e dividiamo per 2, più precisamente

\\ (\bullet\bullet)=\lim_{y\to 0}2\cdot\frac{e^{2y}-1}{2y}=\\ \\ \\=2\cdot \lim_{y\to 0}\frac{e^{2y}-1}{2y}=2

Il risultato è 2 proprio perché

\lim_{y\to 0}\frac{e^{2y}-1}{2y}=1

e il primo limite è andato.


Risolviamo il limite 2)

\lim_{x\to 0}\frac{e^{-4x}-1}{x^2-x}=

che si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Risolviamola mettendo in evidenza x al denominatore:

=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-4x}-1}{x(x-1)}=

e spezziamo la funzione così che possiamo in un secondo momento il limite notevole dell'esponenziale:

=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-4x}-1}{x}\cdot \frac{1}{x-1}=

Scriviamo il limite del prodotto come prodotto dei limiti in accordo con algebra dei limiti:

=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-4x}-1}{x}\cdot\lim_{x\to 0} \frac{1}{x-1}= [\bullet]

Concentriamoci sul primo limite:

\lim_{x\to 0}\frac{e^{-4x}-1}{x}=

che è quasi il limite notevole dell'esponenziale, ci manca solo un -4 al denominatore, e per farlo apparire moltiplichiamo e dividiamo per -4:

\\ =\lim_{x\to 0}-4\cdot \frac{e^{-4x}-1}{-4x}=\\ \\ \\ -4\overbrace{\lim_{x\to 0}\cdot \frac{e^{-4x}-1}{-4x}}^{=1}=-4

Il secondo limite è immediato e si risolve per valutazione diretta. In definitiva il limite iniziale è

[\bullet]=\overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{e^{-4x}-1}{x}}^{-4}\cdot\overbrace{\lim_{x\to 0} \frac{1}{x-1}}^{-1}= -4\cdot(-1)= 4


Vediamo il limite 3):

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{7x}=

Portiamo il fattore \frac{1}{7} fuori dal limite, tanto è una costante moltiplicativa

=\frac{1}{7}\lim_{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{x}=[\bullet\bullet]

Invochiamo a questo punto il limite notevole del seno:

\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}

che è applicabile quando sia l'argomento del seno che il denominatore sono uguali e tendono a zero!

Se analizziamo il limite ci accorgiamo che manca solo un 6 al denominatore e per farlo apparire moltiplichiamo e dividiamo per 6:

[\bullet\bullet] = \frac{1}{7}\lim_{x\to 0}6\cdot\frac{\sin(6x)}{6x}=

=\frac{6}{7}\lim_{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{6x}=

Per il limite notevole del seno abbiamo:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{6x}=1

quindi:

=\frac{6}{7}\overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{6x}}^{=1}=\frac{6}{7}

e con questo è tutto!
Ringraziano: Omega, Elshaa

Esercizio di calcolo dei limiti con i limiti notevoli #39916

avt
Elshaa
Cerchio
Grazie mille e complimenti per la puntualità e precisione nella spiegazione!
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Os