Calcolo di un limite con x tendente a Pi Greco mezzi

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Calcolo di un limite con x tendente a Pi Greco mezzi #39873

avt
irene21
Cerchio
Ho fatto tanti di quegli esercizi sul calcolo dei limiti che ho il cervello in panne e non riesco a risolvere quelli più stupidi. :(

Ad esempio questo: limite per x tendente a Pi Greco Mezzi

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{3\sin^2(x)+\sin(x)-4}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}

Grazie anticipatamente!

PS: mi vergogno a chiedere aiuto per esercizi cosi stupidotti emt Chiedo venia!
 
 

Calcolo di un limite con x tendente a Pi Greco mezzi #39879

avt
Ifrit
Amministratore
Dobbiamo risolvere il limite

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{3\sin^2(x)+\sin(x)-4}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}=

che genera una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Esistono molti metodi per risolverlo: noi procederemo mediante la sostituzione t=x-\frac{\pi}{2}\implies x= t+\frac{\pi}{2}.

Poiché x tende a \frac{\pi}{2} allora t tende a 0 e dunque il limite diventa:

=\lim_{t\to 0}\frac{3\sin^2\left(t+\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)-4}{t^2}

Grazie alla proprietà della funzione seno

\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)= \cos(t)

e quindi il limite si esprime come

=\lim_{t\to 0}\frac{3\cos^2(t)+\cos(t)-4}{t^2}=(\bullet)

Scomponiamo il numeratore sommando e sottraendo il termine 3\cos(t)

\\ 3\cos^2(t)+\cos(t)-4= \\ \\  = 3\cos^2(t)-3\cos(t)+3\cos(t)+\cos(t)-4=\\ \\ =3\cos(t)[\cos(t)-1]+4[\cos(t)-1]= \\ \\ =(3\cos(t)+4)(\cos(t)-1)

e il limite diventa

(\bullet)=\lim_{t\to 0}\frac{(\cos(t)-1)(3\cos(t)+4)}{t^2}=

=\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t^2}\cdot \lim_{t\to 0}(3\cos(t)+4)=

Consideriamo separatamente i due limiti:

\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t^2}= -\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos(t)}{t^2}=-\frac{1}{2}

Abbiamo utilizzato il limite notevole del coseno.

\lim_{t\to 0}(3\cos(t)+4)=3+4=7

Questo limite si risolve per sostituzione diretta.

In definitiva possiamo concludere che il limite dato ha per risultato -\frac{7}{2}

\overbrace{\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t^2}}^{-\frac{1}{2}}\cdot \overbrace{\lim_{t\to 0}(3\cos(t)+4)}^{7}=-\frac{7}{2}

Finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Calcolo di un limite con x tendente a Pi Greco mezzi #39881

avt
irene21
Cerchio
Si può risolvere solo ponendo la t come seconda incognita? O c'è un altro modo?

Perché io ricordo di averne usati altri, più semplici.. solo che mi sfuggono per ora
e, più in generale, in un caso simile (quando la x tende a un numero) dovrei porre una seconda incognita?

Grazie mille emt

Calcolo di un limite con x tendente a Pi Greco mezzi #39885

avt
Ifrit
Amministratore
Non solo, potremmo benissimo procedere con il teorema di De l'Hopital, senza utilizzare la nuova variabile.

Infatti:

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{3\sin^2(x)+\sin(x)-4}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}= \left[\frac{0}{0}\right]=

Deriviamo separatamente numeratore e denominatore:

=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{6\sin(x)\cos(x)+\cos(x)}{2\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}= \left[\frac{0}{0}\right]=

Non abbiamo ancora risolto la forma indeterminata, continuiamo con De l'Hopital, derivando separatamente numeratore e denominatore.

\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{6\cos^2(x)-\sin(x)-6\sin^2(x)}{2}=-\frac{7}{2}

Abbiamo terminato. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Calcolo di un limite con x tendente a Pi Greco mezzi #39892

avt
irene21
Cerchio
Sì sì, grazie mille, siete davvero gentilissimi!

E complimenti per il gran lavoro che fate: è davvero un ottimo aiuto per noi emt
Ringraziano: Pi Greco
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Os